Enunciado

Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =   1 x .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é 1 x , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa.

Passo 2

Podemos reescrever y ' como sendo y ' = x - 1 2   para ficar mais simples de trabalhar utilizando regras de derivação mais tranquilas. Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em x - 1 2   é porque antes de derivarmos ela tinha expoente 1 2 .No entanto, é natural esperarmos um 2 dividindo todo mundo como ele não está presente é porque na função inicial tínhamos um 2 multiplicando.

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = 2 x . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em 1 x , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é 1 x , , tomemos f x = 2 x + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = 2 x + C

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