Enunciado

Se x = ([[1,-,2,i],[i],[2]]) e y = ([[2],[3,-,i],[1,+,2,i]]) , mostre que

(a) x^T y = y^T x

(b) (x , y) = ( overset(-)(y , x) )

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de vetores:

Imagine dois vetores a = ([[a_11,+,c,i],[a_21,+,d,i]]) e b = ([[b_11],[b_21]])

Uma das propriedades é a transposição de um vetor. Quando se transpõe um vetor o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

a = ([[a_11,+,c,i],[a_21,+,d,i]])

a^T = ([[a_11,+,c,i,a_21,+,d,i]])

Vamos rever agora a multiplicação de vetores. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, a^T b != b^T a . Esta operação é descrita por:

a^T b = sum_(i = 1)^n a_i x b_i

Outra propriedade é o vetor conjugado. Que é dado por:

overset(-)(a) = ([[a_11,-,c,i],[a_21,-,d,i]])

Que equivale à trocar o sinal da parte imaginária dos coeficientes complexos do vetor.

Vamos ainda relembrar o produto interno de dois vetores. O produto interno é denotado por:

(a , b) = sum_(i = 1)^n a_i x overset(-)(b)_i

Agora que relembramos estes pontos iremos resolver os itens pedidos. Vamos lá???

Passo 2

O item (a) nos pede para mostrar que x^T y = y^T x . Então, vamos começar calculando x^T y :

x^T y =

sum_(i = 1)^n x_i x y_i =

(1 - 2 i) x 2 + i x ( 3 - i ) + 2 x (1 + 2 i) =

2 - 4 i + 3 i + 1 + 2 + 4 i =

x^T y = 5 + 3 i

O próximo passo será calcular a multiplicação de vetores y^T x :

y^T x =

sum_(i = 1)^n ( y_i ) x ( x_i ) =

2 x (1 - 2 i) + ( 3 - i ) x i + (1 + 2 i) x 2 =

2 - 4 i + 3 i + 1 + 2 + 4 i =

5 + 3 i

Passo 3

Vamos agora demonstrar a propriedade do produto interno (x , y) = ( overset(-)(y , x) ) . Antes disso, vamos determinar os vetores conjugados:

x = ([[1,-,2,i],[i],[2]])

overset(-)(x) = ([[1,+,2,i],[-,i],[2]])

E

y = ([[2],[3,-,i],[1,+,2,i]])

overset(-)(y) = ([[2],[3,+,i],[1,-,2,i]])

Então:

(x , y) = sum_(i = 1)^n x_i x overset(-)(y)_i =

(1 - 2 i) x 2 + i x (3 + i) + 2 x (1 - 2 i) =

2 - 4 i + 3 i - 1 + 2 - 4 i =

3 - 5 i

E

(overset(-)(y , x)) = sum_(i = 1)^n overset(-)(y)_i x ( overset(-)(overset(-)(x))_i ) = sum_(i = 1)^n overset(-)(y)_i x ( x_i ) =

2 x (1 - 2 i) + (3 + i) x i + (1 - 2 i) x 2 =

2 - 4 i + 3 i - 1 + 2 - 4 i =

3 - 5 i

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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