Se x = 1 - 2 i i 2 e y = 2 3 - i 1 + 2 i , mostre que

(a) x^T y = y^T x

(b) (x, y) = (y, x)^(^)

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de vetores:

Imagine dois vetores a = a 11 + c i a 21 + d i e b = b 11 b 21

Uma das propriedades é a transposição de um vetor. Quando se transpõe um vetor o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

a = a 11 + c i a 21 + d i

a T = a 11 + c i a 21 + d i

Vamos rever agora a multiplicação de vetores. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, a T b ≠ b T a . Esta operação é descrita por:

a T b = ∑ i = 1 n a i x b i

Outra propriedade é o vetor conjugado. Que é dado por:

a - = a 11 - c i a 21 - d i

Que equivale à trocar o sinal da parte imaginária dos coeficientes complexos do vetor.

Vamos ainda relembrar o produto interno de dois vetores. O produto interno é denotado por:

a , b = ∑ i = 1 n a i x b - i

Agora que relembramos estes pontos iremos resolver os itens pedidos. Vamos lá???

Passo 2

O item (a) nos pede para mostrar que x T y = y T x . Então, vamos começar calculando x T y :

x T y =

∑ i = 1 n x i x y i =

1 - 2 i x 2 + i x ( 3 - i ) + 2 x 1 + 2 i =

2 - 4 i + 3 i + 1 + 2 + 4 i =

x T y = 5 + 3 i

O próximo passo será calcular a multiplicação de vetores y T x :

y T x =

∑ i = 1 n ( y i ) x ( x i ) =

2 x 1 - 2 i + ( 3 - i ) x i + 1 + 2 i x 2 =

2 - 4 i + 3 i + 1 + 2 + 4 i =

5 + 3 i

Passo 3

Vamos agora demonstrar a propriedade do produto interno x , y = ( y , x - ) . Antes disso, vamos determinar os vetores conjugados:

x = 1 - 2 i i 2

x - = 1 + 2 i - i 2

E

y = 2 3 - i 1 + 2 i

y - = 2 3 + i 1 - 2 i

Então:

x , y = ∑ i = 1 n x i x y - i =

1 - 2 i x 2 + i x 3 + i + 2 x 1 - 2 i =

2 - 4 i + 3 i - 1 + 2 - 4 i =

3 - 5 i

E

y , x - = ∑ i = 1 n y - i x ( x - - i ) = ∑ i = 1 n y - i x ( x i ) =

2 x 1 - 2 i + 3 + i x i + 1 - 2 i x 2 =

2 - 4 i + 3 i - 1 + 2 - 4 i =

3 - 5 i

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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