Enunciado

Mostre que as retas y = ( b / a ) x e y = - ( b / a )   x são assíntotas oblíquas da hipérbole ( x 2 / a 2 ) - ( y 2 / b 2 ) = 1 .

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui duas assíntotas oblíquas. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Passo 2

Podemos reescrever a hipérbole da seguinte maneira

( x 2 / a 2 ) - ( y 2 / b 2 ) = 1

y = ± b a x 2 - a 2

Passo 3

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ∞ ⁡ f x - ( b / a ) x = lim x → ∞ ⁡ b a x 2 - a 2 - ( b / a ) x  

b a lim x → ∞ ⁡ x 2 - a 2 - x x 2 - a 2 + x x 2 - a 2 + x = b a lim x → ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x = 0

Dessa forma, ( b / a ) x é uma assíntota oblíqua de f x . Resolvendo o limite, temos

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ∞ ⁡ - f x - [ - ( b / a )   x ] = lim x → ∞ ⁡ - b a x 2 - a 2 + ( b / a ) x  

- b a lim x → ± ∞ ⁡ - a 2 x 2 - a 2 + x = 0

Dessa forma, - ( b / a ) x é uma assíntota oblíqua de f x .

Resposta

- ( b / a ) x

E

( b / a ) x

São assíntotas oblíquas da hipérbole

( x 2 / a 2 ) - ( y 2 / b 2 ) = 1

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Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva y = x 2 + 1 x + 1
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Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva y = 5 x 4 + x 2 + x x 3 - x 2 + 2
Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas y = x 2 - 1 2 x + 4