Enunciado

Mostre que W 5 , sen 2 ⁡ t , cos ⁡ 2 t = 0 para todo t . Você pode obter esse resultado sem calcular diretamente o wronskiano?

Passo 1

O exercício nos dá uma equação diferencial de terceira ordem e três possíveis soluções: f t = 5 ; g t = sen 2 ⁡ t e h t = cos ⁡ 2 t . O wronskiano é definido como:

W = f ( t ) g ( t ) h ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) h ' ( t ) f ' ' ( t ) g ' ' ( t ) h ' ' ( t )

Nosso primeiro passo será calcular as derivadas de cada função até a segunda ordem e, então, aplicar no wronskiano. Tudo bem??? Vamos lá.

Passo 2

Vamos começar com a função f t = 5 :

f ' t = d d t f t = d d t ( 5 )

f ' t = 0

Então

f ' ' t = 0

A próxima função é g t = sen 2 ⁡ t :

g ' t = d d t g t = d d t ( sen 2 ⁡ t )

g ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t = sen ⁡ 2 t

E

g ' ' t = d d t g ' t = d d t 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

g ' ' t = 2 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t = 2 cos ⁡ 2 t

Vamos agora para a função h t = cos ⁡ 2 t :

h ' t = d d t h t = d d x cos ⁡ 2 t

h ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

h ' ' t = d d t h ' t = d d t - 2 sen ⁡ 2 t

h ' ' t = - 4 cos ⁡ 2 t

Passo 3

Vamos agora para o wronskiano. Ele é dado por:

W = f ( t ) g ( t ) h ( t ) f ' ( t ) g ' ( t ) h ' ( t ) f ' ' ( t ) g ' ' ( t ) h ' ' ( t ) =

5 sen 2 ⁡ t cos ⁡ 2 t 0 sen ⁡ 2 t - 2 sen ⁡ 2 t 0 2 cos ⁡ 2 t - 4 cos ⁡ 2 t =

W = - 20 sen ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + 20 sen ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t = 0

O exercício nos pede para dizer se seria possível dizer que o wronskiano é zero, sem fazer o cálculo do determinante. Para responder isso, vamos aplicar uma propriedade de determinantes. A propriedade é a seguinte: se uma das linhas é uma combinação linear das outras linhas da matriz, então o determinante é zero. Se multiplicarmos a segunda linha da matriz por dois podemos verificar que vamos obter exatamente os valores da terceira linha. Então, como a última linha é uma combinação linear da segunda linha, poderíamos dizer que o determinante seria zero, sem precisar calcular o wronskiano.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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9 - y ' = t + y , y 0 = 3 .
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10 - y ' = 2 t + e - t y , y 0 = 1 .