Enunciado

Mostre que, se y 1 é uma solução de

y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0 ,

Então a substituição y = y 1 t v ( t ) nos leva à seguinte equação de segunda ordem para v ' :

y 1 v ' ' ' + 3 y 1 ' + p 1 y 1 v ' ' + 3 y 1 ' ' + 2 p 1 y 1 ' + p 2 y 1 v ' = 0 .

Passo 1

Vamos começar aplicando a solução y = y 1 . Então:

y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0

y 1 ' ' ' + p 1 t y 1 ' ' + p 2 t y 1 ' + p 3 t y 1 = 0

O próximo passo será aplicar a substituição y = y 1 t v ( t ) .

Passo 2

Ficaremos então com:

y 1 t v t ' ' ' + p 1 t y 1 t v t ' ' + p 2 t y 1 t v t ' + p 3 t y 1 t v t = 0

Vamos começar calculando as derivadas da função y = y 1 t v ( t ) :

y ' = y 1 t ' v t + y 1 t v ( t ) '

y ' ' = y 1 t ' v t + y 1 t v t ' '

y ' ' = y 1 ' ' v t + y 1 ' t v t ' + y 1 ' v t ' + y 1 t v ( t ) ' '

y ' ' = y 1 ' ' v + 2 y 1 ' v ' + y 1 v ' '

y ' ' ' = ( y 1 ' ' v t + 2 y 1 ' v ' + y 1 v ' ' ) '

y ' ' ' = y 1 ' ' ' v + y 1 ' ' v ' + 2 y 1 ' ' v ' + 2 y 1 ' v ' ' + y 1 ' v ' ' + y 1 v ' ' '

y ' ' ' = y 1 ' ' ' v + 3 y 1 ' ' v ' + 3 y 1 ' v ' ' + y 1 v ' ' '

Passo 3

Voltando à equação:

y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0

y 1 ' ' ' v + 3 y 1 ' ' v ' + 3 y 1 ' v ' ' + y 1 v ' ' ' + p 1 t ( y 1 ' ' v + 2 y 1 ' v ' + y 1 v ' ' ) + p 2 t ( y 1 t ' v t + y 1 t v t ' ) + p 3 t y 1 v = 0

3 y 1 ' ' v ' + 3 y 1 ' v ' ' + y 1 v ' ' ' + p 1 ( t ) ( 2 y 1 ' v ' + y 1 v ' ' ) + p 2 ( t ) y 1 t v t ' + v ( y 1 ' ' ' + p 1 t y 1 ' ' + p 2 t y 1 ' + p 3 t y 1 ) = 0

Como y 1 ' ' ' + p 1 t y 1 ' ' + p 2 t y 1 ' + p 3 t y 1 = 0 ficamos com:

3 y 1 ' ' v ' + 3 y 1 ' v ' ' + y 1 v ' ' ' + p 1 ( t ) ( 2 y 1 ' v ' + y 1 v ' ' ) + p 2 ( t ) y 1 t v t ' = 0

y 1 v ' ' ' + 3 y 1 ' + p 1 t y 1 v ' ' + 3 y 1 ' ' + 2 p 1 t y 1 ' + p 2 t y 1 v ' = 0

E, assim chegamos a uma relação de segunda ordem para v ' .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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