Enunciado

Uma generalização da equação do pêndulo não amortecido é:

d 2 u d t 2 + g u = 0

Em que g 0 = 0 ,   g u > 0 para 0 < u < k e g u < 0 para - k < u < 0 , ou seja, u g u > 0 para u ≠ 0 , - k < u < k . Note que g u = sen ⁡ u tem essa propriedade em ( - π / 2 , π / 2 ) .

(a) Fazendo x = u , y = d u / d t , escreva a Eq. (i) como um sistema de duas equações e mostre que x = 0 , y = 0 é um ponto crítico.

(b) Mostre que

V x , y = 1 2 y 2 + ∫ 0 x g s d s ,     - k < x < k

É positiva definida e use esse resultado para mostrar que o ponto crítico (0,0) é estável. Note que a função de Liapunov V dada pela Eq. (ii) corresponde à função energia V x , y = 1 2 y 2 + ( 1 - cos ⁡ x ) para o caso em que g u = sen ⁡ u .

Passo 1

Tá legal! Para a letra (a), conforme vimos no enunciado, temos:

x = u → x ' = u ' = y

E, dessa forma, derivando a expressão de cima, podemos escrever que:

y ' = u ' ' = - g u = - g ( x )

Então, se tivermos o ponto x = 0 e y = 0 , então, temos que:

x ' = 0

y ' = - g 0 = 0

Dessa forma, a origem é um ponto crítico.

Passo 2

Agora, para a letra (b), nós temos que:

∂ V x , y ∂ x = g ( x )

E, também que:

∂ V x , y ∂ y = y

Dessa forma, podemos escrever V ˙ como:

V ˙ x , y = ∂ V x , y ∂ x x ' + ∂ V x , y ∂ y y '

Passo 3

E, substituindo os valores conhecidos na equação obtida no passo 2, temos:

V ˙ x , y = g x y + y - g x → V ˙ x , y = 0

Dessa forma então, temos que V ˙ é semi-definida negativa e pelo teorema 9.6.1 a origem é um ponto crítico estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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