Enunciado

30. a) Mostre que:

28 3 x + 1 - 4 = 12 3 x + 1 . x - 2

b) Será 12 3 x + 1 limitado se x - 2 < 4 ? Se não for, explique; se for, encontre uma cota.

c) Será 12 3 x + 1 limitado se x - 2 < 1 ? Se não for, explique; se for, encontre uma cota.

d) Preencha as lacunas para completar a prova de que:

lim x → 2 ⁡ 28 3 x + 1 = 4

Suponha que ϵ > 0 . Tome δ = m i n ⁡ ( 1 ,   _ _ _ _ ) e suponha que 0 < x - 2 < δ . Então:

28 3 x + 1 - 4 = 12 3 x + 1 . x - 2 < _ _ _ _ . x - 2 < _ _ _ _ . _ _ _ _ _ = ϵ

Passo 1

a) Então pessoal, a igualdade que nos foi dada é a seguinte:

28 3 x + 1 - 4 = 12 3 x + 1 . x - 2

Mexendo no lado esquerdo, teremos:

28 3 x + 1 - 4 = 28 - 4 . 3 x + 1 3 x + 1

28 3 x + 1 - 4 = 28 - 12 x - 4 3 x + 1 = 24 - 12 x 3 x + 1

Disso tiramos que:

28 3 x + 1 - 4 = 12 2 - x 3 x + 1 = 12 3 x + 1 . x - 2

Como queríamos demonstrar! Vale ressaltar que como a função está dentro do módulo, ser x - 2 ou 2 - x não faz diferença, beleza?! Show!

Passo 2

b) Para respondermos à pergunta vamos encontrar a restrição para x , ok? Temos que:

x - 2 < 4

Retirando o módulo, teremos:

- 4 < x - 2 < 4

- 2 < x < 6

Tudo bem, encontramos um intervalo interessante. Para a nossa função, temos que x não pode ser:

3 x + 1 ≠ 0

x ≠ - 1 3

Uma vez que 3 x + 1 está no denominador! Como há apenas um valor dentre o intervalo encontrado que não pode ser aplicado, podemos dizer que 12 3 x + 1 não é limitado.

Passo 3

c) Para respondermos à pergunta vamos encontrar a restrição para x , ok? Temos que:

x - 2 < 1

Retirando o módulo, teremos:

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

Tudo bem, encontramos um intervalo interessante. Para a função que nos foi dada temos que:

3 x + 1 > 4

Dessa forma:

12 3 x + 1 < 12 4

12 3 x + 1 < 3

Então sim, nossa função fica limitada.

Passo 4

d) De início temos que calcular o δ para nosso limite, ok? Da definição de limite temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Sendo assim:

28 3 x + 1 - 4 < ϵ

12 3 x + 1 . x - 2 < ϵ

x - 2 < 3 x + 1 ϵ 12

x - 2 < ϵ 3

Mas só se:

0 < x - 2 < δ

Comparando as duas condições, temos que:

δ = ϵ 3

Passo 5

De acordo com o que calculamos no passo 4 , teremos que:

28 3 x + 1 - 4 = 12 3 x + 1 . x - 2 < 3 . x - 2 < 3 . ϵ 3 = ϵ

Os valores em negrito são as lacunas que preenchemos, ok? Aqui utilizamos apenas os dados que encontramos nos outros passos, galera! E está aí nosso resultado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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f ( x ) = 1 + x 1 x e , x = 0