Enunciado

31-36. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto. Em cada caso, para mostrar que lim x → a ⁡ f x = L , fatore f x - L como:

f x - L = " a l g u m a   c o i s a " . x - a

E, então, controle o tamanho de " a l g u m a   c o i s a " por meio de restrições no tamanho de δ .

31. lim x → 1 ⁡ 2 x 2 = 2 [Sugestão: Suponha que δ ≤ 1 .]

Passo 1

Então galera, utilizando a sugestão do enunciado, que é considerar que δ ≤ 1 e utilizando a definição de limite, que é:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Teremos os seguintes dados:

f x = 2 x 2

L = 2

a = 1

Agora mãos a obra!

Passo 2

Para a primeira condição temos que:

f x - L < ϵ

2 x 2 - 2 < ϵ

Fatorando esse módulo, teremos:

2 x - 1 . x + 1 < ϵ

Como x - a = x - 1 , então o nosso desejo aqui é limitar o fator x + 1 , galera. Ademais, como δ ≤ 1 , então:

- 1 < x - 1 < 1

0 < x < 2

1 < x + 1 < 3

Logo, por consequência, x + 1 < 3 . Tendo em vista essa restrição que encontramos, podemos concluir dizendo que:

0 < x - 1 < δ

x - 1 . x + 1 < 6 δ

δ = m i n 1 , ϵ 6

Dessa forma, fica provado que, de fato, dado qualquer número positivo, conseguimos encontrar um número positivo δ que satisfaz as condições dadas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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