52. Mostre que sexy = 1 , então d²y/dx² \* d²x/dy² = 4

Passo 1

Nessa questão nós temos uma equação e temos que derivar ela em dois passos.

  1. Dependendo da variável x
  2. Dependendo da variável y

Passo 2

1º - Derivada em função de x

x y = 1

Então, podemos dizer que y = 1 x ou ainda y = x - 1 , certo? Dessa forma:

d y d x = - 1 ( x - 2 )

d y d x = - 1 x 2 = - x - 2

Derivando de novo:

d ² y d x ² = ( - 2 ) ( - x - 3 )

d ² y d x ² = 2 x 3 = 2 x - 3

Passo 3

2º - Derivada em função de y

Então, podemos dizer que x = 1 y ou ainda x = y - 1 , certo? Dessa forma:

d x d y = - 1 ( y - 2 )

d x d y = - 1 y 2 = - y - 2

Derivando de novo:

d ² x d y ² = ( - 2 ) ( - y - 3 )

d ² x d y ² = 2 y 3 = 2 y - 3

Passo 4

Mas foi isso que o enunciado pediu? Não!

O enunciado pediu para mostrar que d ² y d x ² ⋅ d 2 x d y 2 = 4 .

Então vamos só substituir os valores e ver se dá certo:

2 x 3 ⋅ 2 y 3 = 4

Ué, e esses denominadores aí? Vamos pensar...

d ² y d x ² ⋅ d 2 x d y 2 = 4 é válido quando x y = 1 .

Continuando:

2 x 3 ⋅ 2 y 3 = 4

4 x y 3 = 4

4 = 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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