Calcule F'(x) sendo F(x) igual a

x \* e^(x) \* cos(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x e x

e

g x = cos ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x e x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ x e x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = x

e

s x = e x

Assim:

x e x ' = r ' x s x + s ' x r x = x ' ⋅ e x + e x ' ⋅ x

Para calcular r ' x vamos usar a regra do polinômio:

r ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

s ' ( x ) = e x ' = e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Substituindo de volta:

x e x ' = x ' ⋅ e x + e x ' ⋅ x = 1 ⋅ e x + e x ⋅ x = e x + x e x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x e x ' ⋅ cos ⁡ x + cos ⁡ x ' ⋅ x e x = e x + x e x ⋅ cos ⁡ x + - sen ⁡ x ⋅ x e x = e x cos ⁡ x + x cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Resposta

f ' x = e x cos ⁡ x + x cos ⁡ x - x sen ⁡ x

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