Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 61
Mostre que a soma das interseções , e de qualquer plano tangente à superfície é uma constante.
Passo 1
O problema fornece a equação de uma superfície e pede para provarmos que a soma das interseções de qualquer plano tangente a essa superfície com os eixos coordenados é uma constante. Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico .
Para isso, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível da seguinte função função de três variáveis:
Como o gradiente é ortogonal as superfícies de nível, ele será o vetor normal do plano tangente:
No ponto temos
Passo 2
A equação do plano tangente no ponto será
Portanto,
Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos. Fazendo :
Logo,
Analogamente para as demais interseções:
Passo 3
Somando as três interseções:
Assim,
Como o ponto deve satisfazer a equação da superfície:
Portanto,
Desta forma, para qualquer ponto , a soma das interseções com os eixos será sempre igual a , que é uma constante!
Resposta
Demonstração.
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