Enunciado

Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.

Passo 1

O problema fornece a equação de uma superfície x + y + z = c e pede para provarmos que a soma das interseções de qualquer plano tangente a essa superfície com os eixos coordenados é uma constante. Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico ( a ,   b ,   d ) .

Para isso, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível 0 da seguinte função função de três variáveis:

f x , y , z = x + y + z - c

Como o gradiente é ortogonal as superfícies de nível, ele será o vetor normal do plano tangente:

∇ f x , y , z = 1 2 x ,   1 2 y ,   1 2 z

No ponto ( a ,   b ,   d ) temos

∇ f a , b , d = 1 2 a ,   1 2 b ,   1 2 d

Passo 2

A equação do plano tangente no ponto ( a , b , d ) será

x - a ,   y - b ,   z - d ⋅ 1 2 a ,   1 2 b ,   1 2 d = 0

Portanto,

x - a a + y - b b + z - d d = 0

Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos. Fazendo y = z = 0 :

x - a a - b b - d d = 0 ⇒ x - a a = b + d

Logo,

x = a a + b + d

Analogamente para as demais interseções:

y = b a + b + d

z = d a + b + d

Passo 3

Somando as três interseções:

x + y + z = a a + b + d + b a + b + d + d a + b + d

Assim,

x + y + z = a + b + d a + b + d = a + b + d 2

Como o ponto ( a ,   b ,   d ) deve satisfazer a equação da superfície:

a + b + d = c

Portanto,

x + y + z = c 2 = c

Desta forma, para qualquer ponto ( a ,   b ,   d ) , a soma das interseções com os eixos será sempre igual a c , que é uma constante!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada por θ f x , y = y e - x , 0,4 , θ = 2 π 3
Calcule a derivada direcional de f x , y = 2 x 2 + y 2 No ponto (-1,1) e na direção 2i → + 3j → .
Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3i → + 4j → e igual a -1 na direção 4i → - 3j → . Calcule: ∇ f → ( 1,1 ) ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) onde u → é o v