Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 14.6 - Ex. 61

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desse livro

Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.

Passo 1

O problema fornece a equação de uma superfície x + y + z = c e pede para provarmos que a soma das interseções de qualquer plano tangente a essa superfície com os eixos coordenados é uma constante. Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico ( a ,   b ,   d ) .

Para isso, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível 0 da seguinte função função de três variáveis:

f x , y , z = x + y + z - c

Como o gradiente é ortogonal as superfícies de nível, ele será o vetor normal do plano tangente:

∇ f x , y , z = 1 2 x ,   1 2 y ,   1 2 z

No ponto ( a ,   b ,   d ) temos

∇ f a , b , d = 1 2 a ,   1 2 b ,   1 2 d

Passo 2

A equação do plano tangente no ponto ( a , b , d ) será

x - a ,   y - b ,   z - d ⋅ 1 2 a ,   1 2 b ,   1 2 d = 0

Portanto,

x - a a + y - b b + z - d d = 0

Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos. Fazendo y = z = 0 :

x - a a - b b - d d = 0 ⇒ x - a a = b + d

Logo,

x = a a + b + d

Analogamente para as demais interseções:

y = b a + b + d

z = d a + b + d

Passo 3

Somando as três interseções:

x + y + z = a a + b + d + b a + b + d + d a + b + d

Assim,

x + y + z = a + b + d a + b + d = a + b + d 2

Como o ponto ( a ,   b ,   d ) deve satisfazer a equação da superfície:

a + b + d = c

Portanto,

x + y + z = c 2 = c

Desta forma, para qualquer ponto ( a ,   b ,   d ) , a soma das interseções com os eixos será sempre igual a c , que é uma constante!

Resposta

Demonstração.

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