Enunciado

Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada por θ

f x , y = y e - x ,             0,4 ,                     θ = 2 π 3

Passo 1

Nesta questão o objetivo é descobrir qual é a derivada direcional no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ . Primeiro descobriremos por derivada parcial os pontos críticos, pois podemos fazer equivalência para f x = 0 e f y = 0 .

Com isso, teremos as coordenadas x e y dos pontos. Para sabermos se o ponto é de máximo, de mínimo ou ponto de sela usamos a fórmula:

D   u   f x , y =   f x x , y c o s θ + f y x , y s e n θ

Passo 2

A equação dada na questão é: f x , y = y . e - x . Assim, fazendo as derivadas de f

f x ( x , y ) =   - y e - x

f y ( x , y ) = e - x

Passo 3

Agora que temos f x x , y e f y ( x , y ) , vamos reescrever a nossa equação da derivada direcional

D u f x , y = - y e - x   c o s θ + e - x   s e n θ

E agora é só substituir θ por 2 π 3 e ( x , y ) po ( 0,4 )

D u f 0,4 = - 4 e 0 cos ⁡ 2 π 3 + e 0 s e n 2 π 3

D u f = - 4 * 1 * - 0,5 + 1 * 3 2

D u f = 2 + 3 2

Resposta

2 + 3 2

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