Enunciado

(a) Mostre que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com menor perímetro é um quadrado

(b) Mostre que de todos os retângulos com um perímetro dado, aquele com menor área é um quadrado

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente (a) mostrar que de todos os retângulos com uma área dada, aquele com menor perímetro é um quadrado. E (b) mostrar que de todos os retângulos com um perímetro dado, aquele com menor área é um quadrado.

Pra demonstrar o item (a), nós vamos partir da expressão de área do retângulo, A = x y , e substituir uma dessas variáveis na equação do perímetro, P = 2 x + 2 y . Assim, vamos minimizar a expressão do perímetro e verificar se, para o valor mínimo dado, seus lados são iguais (formando um quadrado).

No item (b), nós vamos fazer parecido, só que agora vamos partir da expressão do perímetro para minimizar a expressão de área e verificar se o valor mínimo nos fornece um quadrado.

Vamos lá!

Passo 2

(a) Seja A a área dada do retângulo que tem x como base e y como altura. Daí, nós temos:

A = x y

Isolando y , ficamos com:

y = A x

Agora, escrevendo uma expressão para o perímetro deste retângulo, somamos os comprimentos dos lados para obter:

P = 2 x + 2 y

Então, substituindo y = A x nessa equação do perímetro, teremos:

P = 2 x + 2 A x

P = 2 x 2 + 2 A x

Passo 3

Agora vamos tentar encontrar o menor perímetro possível, através dos pontos críticos dessa equação. Para isso, vamos derivar a equação do perímetro, usando a regra do quociente:

P ' = 4 x 2 - 2 x 2 - 2 A x 2

P ' = 2 x 2 - 2 A x 2

Então, igualando isso a zero, temos:

2 x 2 - 2 A x 2 = 0

Como o denominador não pode ser zero, ficamos com:

2 x 2 - 2 A = 0

2 x 2 = 2 A

E isolando x , vamos ter:

x 2 = A

x = A

Agora substituindo o valor de x em y = A x , encontramos:

y = A A

y = A A A

Simplificando:

y = A

Logo, como x = y , temos que este retângulo é um quadrado, como queríamos demonstrar.

Passo 4

Agora vamos resolver o item (b). Então, seja P o perímetro dado de um retângulo que tem x como base e y como altura:

P = 2 x + 2 y

Isolando y nessa equação, teremos:

y = P - 2 x 2

Agora, escrevendo uma expressão para a área deste retângulo, ficamos com:

A = x y

Substituindo y = P - 2 x 2 , nessa equação da área, teremos:

A = x P - 2 x 2

A = P x - 2 x 2 2

Passo 5

Então, para encontrar a menor área possível, basta derivarmos e igualarmos a zero, de modo a descobrir os pontos críticos dessa equação. Assim, derivando usando a regra do quociente, temos:

A ' = P - 4 x 2

E igualando a zero:

P - 4 x 2 = 0

P - 4 x = 0

Então, isolando x na equação, temos:

x = P 4

E substituindo o valor de x na equação de y encontrada no passo anterior, vamos ter:

y = P - 2 P 4 2

y = P 2 2

Fazendo a divisão de frações:

y = P 2 ⋅ 1 2

y = P 4

Novamente os lados são iguais, ou seja, x = y . Logo, temos que este retângulo é um quadrado, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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