Mostre a validade das expressões:

  1. arg cosh(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x >= 1 ;
  2. arg(tanh(x)) = 1 / 2 \* ln((1 + x) / (1 - x)), -1 < x < 1 ;
  3. arg sech(x) = ln((1+raiz(1-x^2))/x), 0<x<=1

Passo 1

Galera, seja y = arg ⁡ cosh ⁡ x ,   x ≥ 1 . Por definição, temos que x = cosh ⁡ y ,   y ≥ 0 e x = e y + e - y 2 ,   y ≥ 0 . Podemos reescrever a última expressão como:

2 x = e y + e - y

e y - 2 x + e - y = 0

e 2 y - 2 x e y + 1 = 0

Passo 2

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja a = e y . Assim, nossa equação se torna:

a 2 - 2 x a + 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

a = 2 x ± 4 x 2 - 4 2

Voltando para a variável original:

e y = 2 x ± 4 x 2 - 4 2 = x ± x 2 - 1 ,   y ≥ 0

Sabemos que y ≥ 0 e x ≥ 1 , logo e y ≥ 1 . Quando x = 1 ,

x + x 2 - 1 = 1

Quando x > 1 ,

x - x 2 - 1 < 1

Portanto, podemos desprezar o sinal ( - ) da solução da equação de segundo grau e teremos:

arccosh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 - 1 ) ,   x ≥ 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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