Mostre a validade das expressões:

  1. arg cosh(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x >= 1 ;
  2. arg tanh(x) = 1/2 \* ln((1+x)/(1-x)), -1 < x < 1 ;
  3. arg sech(x) = ln((1+raiz(1-x^2))/x), 0<x<=1

Passo 1

Galera, seja y = arg ⁡ tanh ⁡ x ,   x ≥ 1 . Por definição, temos que x = tanh ⁡ y e x = e y - e - y e y + e - y . Podemos reescrever a última expressão como:

x e y + e - y = e y - e - y

x e y + x e - y = e y - e - y

x e 2 y + x = e 2 y - 1

e 2 y - x e 2 y = 1 + x

e 2 y 1 - x = 1 + x

e 2 y = 1 + x 1 - x

Passo 2

Aplicando o logaritmo natural dos dois aldos da equação temos:

2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

y = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x ,   - 1 < x < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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