Enunciado

Um móvel é lançado verticalmente e sabe-se que no instante t sua altura é dada por h t = 4 t - t 2 , 0 ≤ t ≤ 4 . (Suponha o tempo medido em segundos e a altura em quilômetros.)

  1. Esboce o gráfico de h
  2. Qual a altura máxima atingida pelo móvel? Em que instante esta altura máxima é atingida?

Passo 1

  1. O esboço do gráfico de h t = 4 t - t 2 é uma parábola com concavidade para baixo, pois temos um a negativo. Vamos achar o vértice e as raízes da função para esboçar o gráfico:
  2. O vértice é dado por:

    x v , y v = - b 2 a , - ∆ 4 a

    Temos então que:

    a = - 1 , b = 4 e c = 0

    Assim:

    x v = - b 2 a = - 4 2 ∙ - 1 = 2

    y v = - ∆ 4 a = - b 2 - 4 a c 4 a = - 4 2 - 4 ∙ - 1 ∙ 0 4 ∙ - 1 = - 16 - 4 = 4

    Pronto, achamos que o vértice é:

    x v , y v = 2 , 4

    Passo 2

    Vamos agora achar as raízes:

    4 t - t 2 = 0 ↔ t 4 - t = 0 ↔ t = 0 e t = 4

    Agora podemos esboçar o gráfico:

    Passo 3

  3. Podemos ver pela figura do passo 2 que o máximo da função h t = 4 t - t 2 ocorre no vértice, assim a altura máxima atingida pelo móvel é:

h 2 = 4 m

E ocorre no instante 2 s.

Resposta

  1. A altura máxima atingida pelo móvel é de 4 m, e ocorre no instante 2 s.
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