Enunciado

Um arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar um triângulo equilátero. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima?

Passo 1

Nessa questão vamos ter que encontrar a função que descreve a área e através do gráfico achar o mínino. Vamos começar!

Vamos supor que os dois pedaços de arames sejam x e y , assim temos:

x + y = 36

Com x vamos construir um quadrado de lado a .

Logo, o seu perímetro será,

p q = 4 a = x → a = x 4

Já com a parte y vamos construir o triângulo equilátero (ou seja, todos os lados são iguais).

Então o perímetro do triângulo equilátero será dado por:

p t = 3 L = y → L = y 3

Lembrando que o perímetro é a soma dos lados da figura geométrica!

Agora que temos os lados, vamos calcular as áreas!

Passo 2

Agora as áreas do quadrado e do triângulo equilátero são dadas pelas fórmulas:

A q = a 2 e A t = 3 4 L 2

Vamos somar as áreas, e substituir os valores de a e L :

A = A q + A t

A = a 2 + 3 4 L 2

Substituindo por x e y (conforme encontramos na passo 1)

A = x 4 2 + 3 4 y 3 2

A = x 2 16 + 3 y 2 36

Vamos então isolar o y da expressão do dos segmentos e substituir na fórmula da área:

y = 36 - x

Substituindo,

A = x 2 16 + 3 36 - x 2 36 = 9 x 2 + 4 3 36 - x 2 144

Ajeitando ficamos com

A = x 2 9 + 4 3 + 5184 3 - 288 3 x 144

Agora que temos tudo em função de x , vamos achar a área mínima pelo gráfico!

Passo 3

Vamos analisar o gráfico de

A = x 2 9 + 4 3 + 5184 3 - 288 3 x 144

ele á uma parábola com concavidade voltada para cima, vamos achar a coordenada y do vértice da parábola, pois nele temos o valor mínimo.

A coordenada é dada pela fórmula:

x v = - b 2 a

Temos que:

a = 9 + 4 3 144 e b = - 288 3 144

Substituindo ficamos com:

x v = - b 2 a = - - 288 3 144 2 ∙ 9 + 4 3 144 = 288 3 144 9 + 4 3 72 = 288 3 144 72 9 + 4 3 = 144 3 9 + 4 3

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula dos segmentos para achar o y :

y = 36 - x = 36 - 144 3 9 + 4 3 = 36 9 + 4 3 - 144 3 9 + 4 3 = 324 + 144 3 - 144 3 9 + 4 3 = 324 9 + 4 3

Temos então que os segmentos são 144 3 9 + 4 3 para o quadrado e 324 9 + 4 3 para o triângulo.

Resposta

144 3 9 + 4 3 e 324 9 + 4 3

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