Enunciado

Neste problema, esquematizamos um modo diferente de obter a fórmula de Euler.

(a) Mostre que y 1 t = cos ⁡ t e y 2 t = s e n   t formam um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + y = 0 ; ou seja, mostre que são soluções e que seu wroskianos não se anula.

(b) Mostre (formalmente) que y = e i t também é solução de y ' ' + y = 0 . Portanto,

e i t = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t

para constantes c 1 e c 2 apropriadas. Por que isso ocorre?

(c) Faça t = 0 na Eq. ( i ) para mostrar que c 1 = 1 .

(d) Supondo que a Eq.(14) é válida, diferencie a Eq. ( i ) e depois faça t = 0 para concluir que c 2 = i . Use ks valores de c 1 e c 2 na Eq. ( i ) para chegar à fórmula de Euler.

Passo 1

A melhor forma de determinarmos um Wroskiano a partir das funções dadas é com base no determinante.

W = d e t f 1 ⋯ f n ⋮ ⋱ ⋮ f 1 n ⋯ f n n

Passo 2

(a) O primeiro item podemos resolver bem rapidamente. Se estamos dizendo que y 1 e y 2 são soluções da nossa equação diferencial, então podemos mostrar simplesmente substituindo elas em nossa equação, assim temos que

Para y 1 t = cos ⁡ t → y 1 ' ' t = - cos ⁡ t . Temos que para y 2 t = s e n   t vale o mesmo e y 2 ' ' t = - s e n   t . Assim já se torna claro que para nossa equação y ' ' + y = 0 as duas soluções são satisfeitas, logo ela são soluções da nossa equação.

O wroskianos é dado pelo determinante de y 1 , y 1 ' , y 2 e y 2 ' , ou seja

W = d e t cos ⁡ t s e n   t - s e n   t cos ⁡ t = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Que é não nulo.

Passo 3

(b) Queremos mostrar que y = e i t é uma solução também. Então vamos fazer o seguinte. Vamos inicialmente generalizar nossa solução, ou seja e r t , onde r pode ser qualquer coisa.

Então substituindo em nossa solução, temos

r 2 e r t + e r t = 0

Dividindo tudo por e r t , ficamos com nossa equação característica

r 2 + 1 = 0

Que nos da

r = ± - 1 = ± i

Assim temos que para r = i , y = e i t é uma solução.

Mas lembre-se, a solução geral de uma equação diferencial é dada pela combinação linear das soluções, ou seja

y t = c 1 cos ⁡ t + c 2   s e n   t = e i t

O motivo disso é dado no paragrafo acima haha.

Passo 4

(c) Fazendo t = 0

c 1 cos ⁡ 0 + c 2   s e n   0 = e 0

Assim temos

c 1 = 1

Passo 5

(d) A Eq.(14) diz

d d t e r t = r e r t

Que é válida para valores complexos de r

Assim temos

d d t e i t = i e i t = d d t c 1 cos ⁡ t + c 2   s e n   t = - c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

Em t = 0

i e 0 = - 1 ⋅ 0 + c 2 ⋅ 1

Assim chegamos em

c 2 = i

Com isso temos a fórmula de Euler

e i t = cos ⁡ t + i   s e n   t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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