Enunciado

Se e r t é dado pela Eq.(13), mostre que

d d t e r t = r e r t

Para qualquer número complexo r .

Passo 1

A equação (13) é dado por

e λ - i u t = e λ t ( cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t )

Passo 2

Seja r um número complexo, então podemos escreve-lo como r = λ + i μ

Então

e r t = e λ + i μ t = e λ t ( cos ⁡ μ + i   s e n   μ t )

Como sugerido no nosso passo 1.

Então temos que tomando nossa derivada, temos

d d t e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t

É pela regra da cadeia

= λ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t + μ e λ t - s e n   μ t + i cos ⁡ μ t

Colocando o i em evidência no segundo termo

= λ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t + i μ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t

E agora parece sem óbvio que devemos colocar e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t em evidência.

Assim

λ + i μ e λ t cos ⁡ μ t + i   s e n   μ t = r e r t

Como queríamos mostrar.

Parecia mais difícil do que foi, não ?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação y ' ' - 3 y ' + 4 y = 2 e - t Lembre-se de que y 1 t = e - t e y 2 t = e 4 t são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque
Se g ( t ) = d , uma constante, mostre que toda solução da E q .( i ) tende a d / c quando t → ∞ . O que acontece se c=0 ?
Siga as instruções no Problema 31 para resolver a equação diferencial y ' ' + 2 y ' + 5 y =1 ,0 ≤ t ≤π / 20 ,t π / 2 com condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .
Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada. 2 y ' ' + 3 y ' + y = t 2 + 3 sen ⁡ t
Em muitos problemas físicos, o termo não homogêneo pode ser especificado por fórmulas diferentes em períodos de tempo diferentes. Como exemplo, determine a solução y=ϕ ( t ) de y ' ' + y =t ,0 ≤ t ≤ππ