Enunciado

Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico quando os autovalores são iguais. Considere a sistema

x ' = - 1 1 0 - 1 x

Mostre que os autovalores são r 1 = - 1 ,   r 2 = - 1 de modo que o ponto crítico 0,0 é um nó assintoticamente estável. Considere, agora o sistema

x ' = - 1 1 - ϵ - 1 x

onde ϵ   é   arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores se ϵ > 0 ,   então os autovalores são - 1 ± ϵ , de modo que o nó assintoticamente estável se transformou em um ponto espiral assistoticamente estável. Se ϵ < 0 , então as raízes são - 1 ± ϵ e o ponto crrítico permanete sendo um nó assintoticamente estável.

Passo 1

A equação característica do coeficiente matricial é r + 1 2 = 0 ,   com raízes r 1 = r 2 = - 1 .  

Logo, o ponto crítico é um ponto assintoticamente estável. Por outro lado, a equação aracterística do sistema perturbado é r 2 + 2 r + 1 +   ϵ = 0 ,   com raízes r 1,2 = - 1 ± - ϵ

Passo 2

Se ϵ > 0 ,   então r 1,2 = - 1 ± ϵ são raízes complexas. O ponto crítico é um espiral estável.

Se ϵ < 0 ,   então r 1,2 = - 1 ± ϵ são reais e ambos negativos ( ϵ ≪ 1 ). O ponto crítico se mantém estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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