Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

x - tg ⁡ x = 0 ;         π 2 < x < 3 π 2

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui infinitas soluções, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça π 2 < x < 3 π 2 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x - tg ⁡ x ' = 1 - sec 2 ⁡ x

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n - tg ⁡ x n 1 - sec 2 ⁡ x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 4,5 , satisfazendo a condição de π 2 < x < 3 π 2 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 - tg ⁡ x 1 1 - sec 2 ⁡ x 1 = 4,5 - 4,5 - tg ⁡ 4,5 1 - sec 2 ⁡ 4,5 ≈ 4,4936139027

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 - tg ⁡ x 2 1 - sec 2 ⁡ x 2 =

= 4,4936139027 - 4,4936139027 - tg ⁡ 4,4936139027 1 - sec 2 ⁡ 4,4936139027 ≈ 4,493 409655

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 - tg ⁡ x 3 1 - sec 2 ⁡ x 3 =

= 4,493409655 - 4,493409655 - tg ⁡ 4,493409655 1 - sec 2 ⁡ 4,493409655 ≈ 4,493 4094579

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 - tg ⁡ x 4 1 - sec 2 ⁡ x 4 =

= 4,4934094579 - 4,4934094579 - tg ⁡ 4,4934094579 1 - sec 2 ⁡ 4,4934094579 ≈ 4,4934094579

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 4,4934094579 .

Resposta

A raiz é 4,4934094579 .

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