Enunciado

Encontre d y d x usando o método da derivação logarítimica:

y = ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Passo 1

A técnica de diferenciação logarítimica consiste em aplicar a função logaritimo natural de ambos os lados da função, permitindo aplicar propriedades importantes de logaritimo para facilitar o calculo da derivada.

Se a função :

y = ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Aplicando a função logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) ln ⁡ x

Aplicando propriedade de logaritmo:

l n ⁡ ( y ) = ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ ln ⁡ ( x )

Aplicando a derivada em ambos os lados:

d d x ln ⁡ y = d d x ln ⁡ ( x ) . ln ⁡ ln ⁡ ( x )

Resolvendo as derivadas, e aplicando a regra do produto, ficamos com:

1 y . d y d x = 1 x . ln ⁡ ln ⁡ x + 1 x . ln ⁡ x . ln ⁡ x

Simplificando termos:

1 y . d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x

Multiplicamos ambos os lados da equação por y :

d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x .   ln ⁡ ( x ) l n ( x )

Resposta

d y d x = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x .   ln ⁡ ( x ) l n ( x )

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