Enunciado

O número de supermercados C t no país que estão usando um sistema computadorizado é descrito pelo problema de valor inicial:

d C d t = C 1 - 0,0005 C ,     C 0 = 1

Em que t > 0 . Quantos supermercados estarão usando sistemas computadorizados quando t = 10 ? Quantas companhias estarão adotando esse novo procedimento depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Então galeris, a equação que nos foi dada é a seguinte:

d C d t = C 1 - 0,0005 C

Para resolvermos essa equação podemos utilizar o método de separação de variáveis, saca só:

d C C - 0,0005 C 2 = d t

Simplificando o lado esquerdo, teremos:

1 C + 0,0005 1 - 0,0005 C d C = d t

E agora basta integrarmos ambos os lados e resolver as integrais, então vamo que vamo!

Passo 2

Integrando, teremos:

∫ 1 C + 0,0005 1 - 0,0005 C d C = ∫ d t

∫ d C C + 0,0005 ∫ d C 1 - 0,0005 C = ∫ d t

Para o lado esquerdo da nossa expressão, teremos:

∫ d C C + 0,0005 ∫ d C 1 - 0,0005 C = ln ⁡ C - ln ⁡ 1 - 0,0005 C + c 1

E para o lado direito, teremos:

∫ d t = t + c 2

Juntando os resultados, teremos:

ln ⁡ C - ln ⁡ 1 - 0,0005 C + c 1 = t + c 2

Unindo as constantes:

ln ⁡ C - ln ⁡ 1 - 0,0005 C = t + c

ln ⁡ C 1 - 0,0005 C = t + c

Simplificando:

C 1 - 0,0005 C = k e t

Show! Encontramos uma expressão para C ! O enunciado também nos dá uma condição inicial C 0 = 1 , então se aplicarmos essa condição, teremos:

1 1 - 0,0005 = k e 0

k = 1,0005

Substituindo no nosso resultado:

C 1 - 0,0005 C = 1,0005 e t

Passo 3

Agora que encontramos a expressão para C o enunciado nos pede mais algumas coisas. A primeira é quantos supermercados estarão usando sistemas computadorizados quando t = 10 ? Aplicando t = 10 , teremos:

C 1 - 0,0005 C = 1,0005 e 10

C = 1 - 0,0005 C 1,0005 e 10

C = 1,0005 e 10 - 0,0005 e 10 C

C 1 + 0,0005 e 10 = 1,0005 e 10

C = 1,0005 e 10 1 + 0,0005 e 10 = 22026 1 + 11

∴ C ≅ 1835   s u p e r m e r c a d o s

A segunda pergunta é quantas companhias estarão adotando esse novo procedimento depois de um longo período de tempo? Para t → ∞ , temos que:

C 1 - 0,0005 C = 1,0005 e ∞

0 = 1 - 0,0005 C

∴ C ≅ 2000   s u p e r m e r c a d o s

E está aí nossa resposta! 😉

Resposta

C 1 - 0,0005 C = 1,0005 e t

Para t = 10 , temos: C ≅ 1835   s u p e r m e r c a d o s

Para t → ∞ , temos: C ≅ 2000   s u p e r m e r c a d o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição. y ' ' = x - y '
Resolvaxd y + x y + y - x 2 - 2 x d x = 0 .
As equações de Lotka e Volterra: d y d t = y α - β x d x d t = x - γ + δ y Em que α ,β ,γeδ são constantes positivas, ocorrem na análise do equilíbrio biológico de duas espécies de animais, tais como
Encontre uma solução para a equação logística modificada. d P d t = P a - b P 1 - c P - 1 , a ,b ,c0
Supondo 0P 0e a b e a0 , use a equação 9 para encontrar a ordenada do ponto de inflexão de uma curva de Gompertz.