Enunciado

Sabe-se que y = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 s e n   λ x é uma família de soluções para a equação diferencial y ' ' + λ 2 y = 0 . Determine os valores de parâmetro λ para os quais o problema de valor de contorno:

y ' ' + λ 2 y = 0 ,   y 0 = 0 ,   y π = 0

Possua soluções não triviais.

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão sobre família de soluções devemos observar algumas coisas, ok? A primeira delas é que a ordem da nossa equação diferencial dirá quantas constantes arbitrárias nossa solução terá.

A segunda é que devemos derivar a solução geral que nos foi dada para podermos aplicar as condições iniciais dadas para, aí sim, descobrirmos os valores das constantes. Parece complicado, né? Mas prometo que não é, saca só!

A solução que nos foi dada é:

y = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 s e n   λ x

Derivando nossa função, teremos:

y ' = - λ c 1 s e n   λ x + λ c 2 cos ⁡ λ x

Show!

Passo 2

As condições iniciais são: y 0 = 0 ,   y π = 0 . Aplicando a primeira, teremos:

y = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 s e n   λ x

0 = c 1

Agora aplicando a segunda, teremos:

0 = c 1 cos ⁡ λ π + c 2 s e n   λ π

Como c 1 = 0 , então teremos:

c 2 s e n   λ π = 0

Para c 2 ≠ 0 o problema não apresenta soluções triviais. Sendo assim, para que não tenhamos soluções triviais devemos ter:

s e n   λ π = 0

Ou seja, λ precisa ser um número inteiro diferente de zero. Caso λ = 0 , então uma família de soluçõe será:

y = c 1 = 0

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

λ ≠ 0

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Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e x 1 + x 2
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Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x 3
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. 4 y ' ' + y = c o s ⁡ ( x )
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' - 3 y = x + 2
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + 3 y ' + 2 y = s e n ( e x )
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' - 3 y ' + 2 y = 1 1 + e - x
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + y = sec 3 ⁡ x ,   0 < x < π / 2
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. y ' ' + y = sec 2 ⁡ x ,   0 < x < π / 2
Resolva a equação diferencial usando Coeficientes indeterminados eVariação de parâmetros. y ' ' - 2 y ' + y = e 2 x
Determine os valores do parâmetro λ para os quais o problema de valor de contorno: y ' ' + λ 2 y = 0 ,   y 0 = 0 ,   y 5 = 0 Possua soluções não triviais. Veja o problema 13.
Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família a dois parâmetros de soluções para y ' ' - y = 0 no intervalo - ∞ ,   ∞ . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condiçõ...