Enunciado

Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo θ com o plano, então a intensidade da força será

F = μ m g ( μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ )

em que μ é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para que valor de θ   F   é menor?

Passo 1

Nós precisamos minimizar F para 0 ≤ θ ≤ π 2 , porque 90 ° é maior grau que a corda pode formar.

Passo 2

Minimizando F :

F ' θ = - μ m g ( μ cos ⁡ θ - se n ⁡ θ ) ( μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ )  

F ' θ > 0 quando μ cos ⁡ θ - s e m   θ < 0   →   μ cos ⁡ θ < sem ⁡ θ   →   μ < tan ⁡ θ   → θ > μ tan ⁡ θ

F é decrescente de 0 a μ tan ⁡ θ e crescente de μ tan ⁡ θ a μ 2 , provando que F tem seu valor mínimo em μ tan ⁡ θ .

Resposta

F tem seu valor mínimo quando θ = μ tan ⁡ θ .

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