Enunciado

Uma refinaria de petróleo está localizada na margem norte de um rio reto que tem 2   k m de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na margem sul do rio, 6   k m a leste da refinaria. O custo de construção é $   400   000 / k m sobre a terra, até um ponto P na margem norte e $   800   000 / k m sob o rio até o tanque. Onde P deveria estar localizado para minimizar o custo do oleoduto?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a localização do ponto P que minimizaria o custo da construção do oleoduto. Nós sabemos que a refinaria está localiza na margem norte de um rio reto que tem 2   k m de largura e que o oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na margem sul do rio, 6   k m a leste da refinaria.

Além disso, ele nos fala que o custo de construção é $   400   000 / k m sobre a terra, até um ponto P na margem norte e $   800   000 / k m sob o rio até o tanque.

Com as informações esboçamos a seguinte imagem:

O que nós vamos fazer é escrever uma expressão para o custo dessa construção e minimizar a função encontrada através da derivação.

Vamos lá!

Passo 2

O que queremos é minimizar a função custo, que pode ser escrita da seguinte forma:

C = 400.000 6 - x + 800.000   d

A função está dependendo de duas variáveis, então vamos isolar d em função de x , usando a fórmula da distância entre dois pontos:

d 2 = x 2 + 2 2

Assim, temos:

d = x 2 + 4

Substituindo em C , encontramos:

C = 400.000 6 - x + 800.000   x 2 + 4

Passo 3

Agora para minimizar C , vamos começar derivando nossa função:

C ' x = 800.000 x x 2 + 4 - 400.000

E igualando isso a zero:

800.000 x x 2 + 4 - 400.000 = 0

800.000 x = 400.000 x 2 + 4

2 x = x 2 + 4

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 x 2 = x 2 + 4

3 x 2 = 4

E isolando x :

x = 4 3

x ≅ 1,15   k m

P se encontra a uma distância de 6 - x da refinaria, então, P deve estar em: 6 - 1,15 = 4,85   k m   a leste da refinaria.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P   d e v e r i a   s e   e n c o n t r a r   4,85   k m   a   l e s t e   d a   r e f i n a r i a .

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