Enunciado

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota horizontal. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

2 - 1 3 x 2 + x 3

Passo 1

Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

2 - 1 3 - x 2 + - x 3 = 2 - 1 3 x 2 - x 3

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = 2 - 1 3 x 2 + x 3 → 0 = 2 - 1 3 x 2 + x 3 → 2 = 1 3 x 2 + x 3 → 6 x 2 + 2 x 3 = 1 →

x = 0,384

x = - 0,442

x = - 2,942

y = 2 - 1 3 ⋅ 0 2 + 0 3

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e que ela não corta o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

3 x 2 + x 3 = 0 → x 2 3 + x = 0 →

x = 0 e x = - 3

Temos então que possui assíntota vertical em x = 0 e x = - 3 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva nos intervalos - ∞ , - 3 , - 2,942 ; - 0,442 e 0,384 ; + ∞ e é negativa nos intervalos - 3 ; - 2,942 e - 0,442 ; 0,384 .

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ 2 - 1 3 x 2 + x 3 = 2 - 0 = 2

lim x → - ∞ ⁡ 2 - 1 3 x 2 + x 3 = 2 - 0 = 2

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 2 .

Passo 6

Vamos encontrar f ' x e f ' ' x :

f ' x = 0 - 0 ⋅ 3 x 2 + x 3 - 1 6 x + 3 x 2 3 x 2 + x 3 2 = 6 x + 3 x 2 3 x 2 + x 3 2

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

6 x + 3 x 2 3 x 2 + x 3 2 = 0 → 6 x + 3 x 2 = 0 → 3 x 2 + x = 0 →

x = 0

x = - 2

Em x = 0 a derivada não é definida devido ao denominador.

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo - 2,1 ; - 1,9 que contém - 2 :

f ' - 2,1 = 6 - 2,1 + 3 - 2,1 2 3 - 2,1 2 + - 2,1 3 2 = 0,039

f ' - 1,9 = 6 - 1,9 + 3 - 1,9 2 3 - 1,9 2 + - 1,9 3 2 = - 0,036

Pronto, temos então que f ' - 2,1 > 0 e f ' - 1,9 < 0 , então f tem um máximo relativo em - 2 .

Passo 7

E por último vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 6 + 6 x 3 x 2 + x 3 2 - 6 x + 3 x 2 2 3 x 2 + x 3 6 x + 3 x 2 3 x 2 + x 3 4 =

= 6 + 6 x 3 x 2 + x 3 - 6 x + 3 x 2 2 6 x + 3 x 2 3 x 2 + x 3 3 =

= 18 x 2 + 6 x 3 + 18 x 3 + 6 x 4 - 72 x 2 - 36 x 4 - 36 x 3 - 18 x 4 3 x 2 + x 3 3 = - 48 x 4 - 12 x 3 - 54 x 2 3 x 2 + x 3 3

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

- 48 x 4 - 12 x 3 - 54 x 2 3 x 2 + x 3 3 = 0

Não temos pontos de inflexão, pois em x = 0 o denominador também zera.

Passo 8

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

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