Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x + s e n   x   ,   0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Primeiramente, vejamos que o domínio da função está restrito ao intervalo de ( 0 ,   2 π )

Então, vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 1 + cos ⁡ x  

y ' ' = - s e n   x

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 1 + cos ⁡ x = 0 → cos ⁡ x = - 1  

x = π

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' π = 0 .

Não podemos definir o tipo de extremo por enquanto então...

Vamos testar os valores na função:

y 0 = 0

y π = π

y 2 π = 2 π

Daí, temos que ( 0,0 ) é o ponto mínimo e 2 π ,   2 π é o ponto máximo no nosso intervalo.

Continuemos...

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

  y ' = 1 + cos ⁡ x  

Sabemos que a função resulta em zero quando x = π .   Vejamos então...

1 + cos ⁡ x > 0 → cos ⁡ x > - 1 → ∀ x   (pois o domínio do cosseno é [ - 1 ,   1 ] )

Então, a função é sempre crescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada deu y ' ' = - s e n   x . Temos que: - s e n   x > 0 → s e n   x < 0 → x ∈ π ,   2 π

Ou seja, a concavidade vai ser para cima em ( π , 2 π )   e para baixo em ( 0 ,   π ) .

O ponto de inflexão então é: ( π ,   π )

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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