Enunciado

Use somas de Riemann para argumentar informalmente que integrar a velocidade escalar num intervalo de tempo produz a distância percorrida.

Passo 1

Vamos pensar um pouco. Digamos que a velocidade escalar seja:

v → t = v t

A soma de Riemann pode ser escrita assim:

∫ a b f ( x ) d x = lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x k

Vamos reescrever isso em função de v ( t ) :

∫ a b v ( t ) d t = lim max ⁡ Δ t k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n v t k * Δ t k

Passo 2

Agora vamos interpretar o que está acontecendo aí. Como o intervalo de tempo Δ t k = t k - t k - 1 é muito pequeno (tende a zero) a gente pode dizer que v ( t ) é quase constante dentro dele.

A gente sabe que para movimentos onde a velocidade é constante, vale que:

v = Δ S Δ t ∴ Δ S = v   Δ t

Sendo Δ S a distância percorrida. Repara que é exatamente isso que está escrito no argumento do somatório. Vamos substituir:

∫ a b v ( t ) dt = lim max ⁡ Δ t k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n Δ S k

Isso diz que estamos somando a distância percorrida em cada intervalo bem pequeno de tempo, o que dá a distância percorrida no percurso todo. 😊

Resposta

Discussão nos passos

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