Enunciado

Obtenha os gráficos das funções dadas em uma mesma tela. Como esses gráficos estão relacionados?

y = tan ⁡ x   ;   - π 2 < x < π 2   ; y = tan - 1 ⁡ x ; y = x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar os gráficos das funções y = tan ⁡ x , y = tan - 1 ⁡ x e y = x , no intervalo - π 2 < x < π 2 , e explicar como esses gráficos estão relacionados.

Para isso, precisamos lembrar que a função tangente é uma função trigonométrica e periódica, cujo gráfico é dado da seguinte forma:

E que a função y = ta n - 1 ⁡ x é a inversa da função y = ta n ⁡ x , no intervalo - π 2 , π 2 .

Mas por que nesse intervalo? Porque a função tangente só será injetora se restringirmos o seu domínio e para que uma função tenha inversa, ela precisa ser injetora. Então, garantimos que a função seja invertível nesse intervalo.

Além disso, lembre-se que y = x é uma reta crescente cujo coeficiente angular é 1 , então ela “corta” o plano cartesiano na diagonal.

De posse dessas informações, vamos plotar as três curvas no plano e analisar a figura obtida para verificar a relação entre elas.

Vamos lá!

Passo 2

Esboçando os gráficos no intervalo dado, ficamos com:

Observe que é como se a tivesse feito um zoom na função tangente do passo 1 , pegando só o pedaço onde x vai de - π 2 até π 2 , e depois refletisse essa curva em torno da reta y = x .

Então, pelo gráfico, podemos concluir que y = tan - 1 ⁡ x é a reflexão do gráfico y = tan ⁡ x através da linha y = x .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = tan - 1 ⁡ x é a reflexão do gráfico y = tan ⁡ x através de y = x

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