Enunciado

Se uma onda de comprimento L se move à velocidade v em um corpo de água de profundidade d , então

v = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L

em que g é a aceleração da gravidade. (Veja a Figura 5.) Explique por que a aproximação

v = g L 2 π

é adequada para águas profundas.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente explicar porque v = g L 2 π é uma boa aproximação para a velocidade de uma onda de comprimento L se movendo em águas profundas. Sabendo que d representa essa profundidade e que a equação geral dessa velocidade é dada por:

v = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L

Nesse caso, precisamos analisar o comportamento da função à medida que a profundidade d aumenta e verificar se essa é realmente uma boa aproximação.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos analisar 2 π d L e depois o comportamento de y = tgh ⁡ x .

Podemos perceber que a medida que d cresce, 2 π d L também cresce.

Além disso, olhando o gráfico da tangente hiperbólica de x , nós notamos que à medida que x cresce, tgh ⁡ x se aproxima de 1 . Olha só:

Isso é válido inclusive para x = 2 π d L .

Então, à medida que o argumento da função tangente hiperbólica tende para infinito ( 2 π d L → ∞ ), porque a profundidade d aumenta indefinidamente, essa função tende a 1 ( tgh ⁡ 2 π d L → 1 ).

Dessa forma, podemos fazer a aproximação:

v = g L 2 π tgh ⁡ 2 π d L ≈ g L 2 π ∙ 1

v = g L 2 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A aproximação é adequada porque à medida que 2 π d L → ∞ , tgh ⁡ 2 π d L → 1 .

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