Enunciado

Usando os princípios da física, pode ser mostrado que quando um cabo é pendurado entre dois postes, ele toma a forma de uma curva y = f ( x ) , que satisfaz a equação diferencial

d 2 y d x 2 = ρ g T 1 + d y d x 2

na qual ρ é a densidade linear do cabo, g é a aceleração da gravidade e T é a tensão no cabo no ponto mais baixo, e o sistema de coordenada é apropriadamente escolhido. Verifique que a função

y = f x = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T

é a solução dessa equação diferencial.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que y = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T é solução da equação diferencial d 2 y d x 2 = ρ g T 1 + d y d x 2 .

Observe que a equação diferencial envolve a primeira e segunda derivada de y . Então, o que nós vamos fazer é derivar y duas vezes e substituir na equação diferencial pra ver se os resultados são compatíveis.

Lembrando que vamos precisar usar a regra da cadeia na derivação ( F x = f ' g x . g ' x ), juntamente com as regras de multiplicação por uma constante ( k f x ' = k f ' ( x ) ) e as derivadas de funções hiperbólicas:

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y em relação x :

f ' x = d y d x = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T '

Como T , ρ e g são constantes, a gente pode colocar elas pra fora da derivada:

d y d x = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T '

Agora usando a regra da cadeia, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro:

d y d x = T ρ g senh ⁡ ρ g x T ρ g x T '

Derivando a função de dentro:

d y d x = T ρ g senh ⁡ ρ g x T ρ g x 1 - 1 T

d y d x = senh ⁡ ρ g x T

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos derivar a segunda vez:

f ' ' x = d 2 y d x 2

Usando o resultado que obtivemos no passo anterior:

d 2 y d x 2 = senh ⁡ ρ g x T '

E usando a regra da Cadeia novamente, temos:

d 2 y d x 2 = cosh ⁡ ρ g x T ρ g x T '

Derivando a função de dentro:

d 2 y d x 2 = cosh ⁡ ρ g x T ρ g x 1 - 1 T

E temos a nossa segunda derivada:

d 2 y d x 2 = ρ g T cosh ⁡ ρ g x T

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Vamos analisar agora a equação diferencial:

d 2 y d x 2 = ρ g T 1 + d y d x 2

Vamos substituir d y d x que achamos no passo 2 para vermos se a função é uma solução da equação diferencial:

d 2 y d x 2 = ρ g T 1 + senh ⁡ ρ g x T 2

d 2 y d x 2 = ρ g T 1 + senh 2 ⁡ ρ g x T

Usando a identidade hiperbólica c o s h 2 x = 1 + s e n h 2 x e substituindo dentro da raiz, temos:

d 2 y d x 2 = ρ g T cosh 2 ⁡ ρ g x T

Como tá elevado ao quadrado, a gente pode tirar de dentro da raiz para obter:

d 2 y d x 2 = ρ g T cosh ⁡ ρ g x T

Observe que esse é o mesmo resultado que obtivemos no passo 3 , portanto, y = T ρ g cosh ⁡ ρ g x T é de fato solução da equação diferencial. Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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