Enunciado

62.

a) Se F x = f x g x , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' ' .

b) Encontre fórmulas análogas para F ' ' ' e F 4 .

c) Conjecture uma fórmula para F n .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão tem três itens para gente responder, e no item a) foi dado que

F x = f x g ( x )

sendo f e g funções deriváveis para qualquer ordem.

Queremos mostrar que:

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

Ou seja, precisaremos derivar nossa função duas vezes para obter sua derivada de segunda ordem e assim mostrar que ela terá esse resultado aí. Beleza?!

No item b) precisamos encontrar as expressões para a terceira e a quarta derivada de F .

A terceira derivada F ( 3 ) podemos obter derivando a F ' ' .

E para obtermos F ( 4 ) deveremos derivar F ( 3 ) . Então é exatamente isso que faremos. Ok?!

Já no item c) precisaremos conjecturar uma fórmula para a n-ésima derivada de F . E para fazer isso, basta observarmos a lei de formação que segue no cálculo de cada derivada de F que fizermos anteriormente.

Agora que já sabemos o que fazer em cada item, partiu desenvolvê-los.

Passo 2

a) Nos foi dado que

F x = f x g ( x )

Queremos mostrar que:

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

Então temos que derivar a função F x duas vezes.

Perceba que ela é formada por um produto entre duas funções, sendo assim, sua derivada seguirá a regra do produto. Sendo:

F ' = f ' g + f g '

Show, temos nossa primeira derivada. Agora para a segunda derivada, precisaremos derivar cada parcela dessa primeira derivada. Assim:

F ' ' = f ' g ' + f g ' '

E fazendo cada uma delas, teremos:

f ' g ' = f ' ' g + f ' g '

E para:

f g ' ' = f ' g ' + f g ' '

Substituindo, ficamos com:

F ' ' = f ' ' g + f ' g ' + f ' g ' + f g ' '

e podemos ver que os dois termos centrais são semelhantes, então podemos soma-los, ficando com:

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

Como queríamos provar.

Passo 3

Agora, no item b) precisamos encontrar as expressões para a terceira e a quarta derivada de F .

A terceira derivada F ( 3 ) podemos obter derivando a F ' ' .

Lembrando que

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

Então precisaremos aplicar a regra do produto para cada uma das três parcelas que temos na segunda derivada. Assim:

F ' ' ' = f ' ' g ' + 2 f ' g ' ' + f g ' ' '

E fazendo cada uma delas, teremos:

f ' ' g ' = f ' ' ' g + f ' ' g '

E para:

2 f ' g ' ' = 2 f ' ' g ' + 2 f ' g ' '

e

f g ' ' ' = f ' g ' ' + f g ' ' '

Substituindo, ficamos com:

F ' ' ' = f ' ' ' g + f ' ' g ' + 2 f ' ' g ' + 2 f ' g ' ' + f ' g ' ' + f g ' ' '

E reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

F ' ' ' = f ' ' ' g + 3 f ' ' g ' + 3 f ' g ' ' + f g ' ' '

Pronto, a terceira já foi!

E para obtermos F ( 4 ) deveremos derivar F ( 3 ) .

Para isso, usaremos quatro vezes a Regra do Produto, pois cada parcela de F ( 3 ) é um produto.

Então, teremos:

F 4 = f ' ' ' g ' + 3 f ' ' g ' + 3 f ' g ' ' ' + f g ' ' '

E fazendo cada uma delas, teremos:

f ' ' ' g ' = f 4 g + f 3 g '

3 f ' ' g ' = 3 f 3 g ' + 3 f ' ' g ' '

3 f ' g ' ' ' = 3 f ' ' g ' ' + 3 f ' g 3

f g ' ' ' = f ' g 3 + f g 4

E substituindo em nossa derivada, ficamos com:

F 4 = f 4 g + f 3 g ' + 3 f 3 g ' + 3 f ' ' g ' ' + 3 f ' ' g ' ' + 3 f ' g 3 + f ' g 3 + f g 4

Reduzindo os termos semelhantes, encontramos:

F 4 = f 4 g + 4 f 3 g ' + 6 f ' ' g ' ' + 4 f ' g 3 + f g 4

Ufa!

Passo 4

E finalmente chegamos ao item c). Aqui precisaremos conjecturar uma fórmula para a n-ésima derivada de F .

E para fazer isso, basta observarmos a lei de formação que segue no cálculo de cada derivada de F que fizermos anteriormente.

Por exemplo, na expressão de F ' ' temos três parcelas enquanto que na expressão de F ( 3 ) temos quatro parcelas.

Observe, também, que para uma determinada derivada de F as ordens das derivadas de f crescem enquanto que as de g decrescem. Há, também, parcelas intercalares com fator de multiplicação igual ao número da ordem de derivação.

A grande sacada aqui é perceber que os coeficientes que multiplicam cada termo vão variar de acordo com:

n k = n ! k ! n - k ! = n n - 1 n - 2 … ( n - k + 1 ) k !

Isso tem ligação com o Binômio de Newton:

x + a n = ∑ k = 0 n n k x n - k a k

Se você reparar, o termo dentro do somatório é bem parecido com o que pensamos no início desse passo.

Então, dessa forma, podemos dizer que a n-ésima derivada de F é:

F ( n ) = f ( n ) g + n f ( n - 1 ) g ' + n 2 f ( n - 2 ) g ' ' + … + n k f ( n - k ) g ( k ) + … + n f ' g ( n - 1 ) + f g ( n )

E prontinho. Sei que essa foi mais puxada de fazer, mas espero ter ajudado você a endendê-la melhor.

Resposta

Demonstração.

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