Enunciado

Uma reta tangente à hipérbole x y = c é traçada em um ponto P .

a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta cortado dessa reta tangente pelos eixos coordenados é P .

b) Mostre que o triangulo formado pela reta tangente e pelos eixos coordenados sempre tem a mesma área, não imposta onde P esteja localizados sobre a hiperbole.

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema queremos demonstrar que o ponto médio do segmento da reta tangente à hipérbole

x y = c  

e delimitado pelos eixos coordenados é o próprio ponto P   , isto é, o ponto de tangência ( x 0 , y 0 ) .

E tambem que o triangulo formado pela reta tangente e pelos eixos coordenados sempre tem a mesma área, não importa onde P esteja localizados sobre a hipérbole.

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiramente vamos lembrar que a equação da reta é dada por

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é um ponto que pertence à reta e m é o coeficiente angular que pode ser expressado como

m = y ' x 0

Veja só!

Passo 2

Sejam ( 0 , a ) e ( b ,   0 ) os pontos onde a reta tangente corta os eixos y e x , respectivamente. Seja ( x M , y M ) o ponto médio, então:

x M = 0 + b 2 = b 2

y M = a + 0 2 = a 2

Seja P = ( x 0 , y 0 ) , o ponto de tangência, então, a inclinação da reta tangente, segundo a Geometria Analítica, pode ser dada por a - y 0 0 - x 0       ( I ) ou y 0 - 0 x 0 - b     ( I I ) e a derivada de y da hipérbole é dada pela regra da potência

y ' = c - 1 x - 1 - 1 = - c x - 2

Então, temos que:

y ' x 0 , y 0 = - c x 0 - 2 = - c x 0 2       ( I I I )

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Igualando ( I ) com a ( I I ) temos :

a - y 0 0 - x 0 = - c x 0 2

Multiplicando em X , temos

x 0   c = x 0 2 a - y 0

c = x 0 a - y 0

c x 0 = a - y 0

Se y 0 = c x 0 , então...

y 0 = a - y 0

2 y 0 = a

y 0 = a 2

Igualando ( I I ) com a ( I I I ) temos :

y 0 - 0 x 0 - b = - c x 0 2

Novamente multiplicando em X

y 0 x 0 2 = - c x 0 - b

c x 0 x 0 2 = - c x 0 - b

c x 0 =   - c x 0 - b

2 x 0 = b

x 0 = b 2

Assim, provamos que x 0 = b 2 = x M e y 0 = a 2 = y M , logo ( x M , y M ) = P .

Bacana, não é?

Passo 4

Agora para o item b)

Quando P = P 1 = ( x 1 ,   y 1 ) , a área será S 1 = a 1 b 1 2 . Já quando P = P 2 = ( x 2 ,   y 2 ) a área será S 2 = a 2 b 2 2 .

Se concluirmos que S 1 = S 2 , então poderemos dizer que a área do triangulo será constante. Para que isso aconteça:

a 1 b 1 2 = a 2 b 2 2   →   a 1 b 1 = a 2 b 2

Os pontos ( x 1 ,   y 1 ) e ( x 2 ,   y 2 ) pertencem à hipérbole, então: y 1 = c x 1 e y 2 = c x 2

Daí, podemos concluir que x 1 y 1 = x 2 y 2 = c     ( I ) , pois c é constante. No item " a " pudemos provar que P é sempre ponto médio, então:

x 1 = b 1 2 e y 1 = a 1 2

x 2 = b 2 2 e y 2 = a 2 2

Daí temos que x 1 y 1 = b 1 2 a 1 2 = a 1 b 1 4 e x 2 y 2 =   b 2 2 a 2 2 = a 2 b 2 4

Da igualdade ( I ) podemos chegar a seguinte conclusão:

a 1 b 1 4 = a 2 b 2 4   → a 1 b 1 = a 2 b 2  

A última igualdade é a condição que prova que S 1 = S 2 e, por isso, a àrea do triangulo será constante para qualquer ponto P .

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

Resposta nos passos

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O gráfico da função abaixo possui alguma tangente horizontal no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π ? Se sim, onde? Se não, por quê? Visualiza os resultados representando as funções com uma ferramenta gráfica y = x