Enunciado

67. Se y = f u e u = g x , onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis, mostre que

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

Passo 1

Para mostrar isso a gente só precisa derivar duas vezes y , então vamos lá:

Para ser mais fácil de ver o que esta acontecendo vamos usar essa notação:

y = f g x

A regra da cadeia nos diz que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Derivando mais uma vez, usando a regra do produto:

y ' ' = f ' g x ' ⋅ g ' x + g ' ' x ⋅ f ' g x

Aquela primeira derivada precisamo da regra da cadeia para simplifica-la:

y ' ' = f ' ' g x ⋅ g ' x ⋅ g ' x + g ' ' x ⋅ f ' g x

Esse passo, quando feito na outra notação, fica bem difícil de visualizar. Mas é isso ai agora é só simplificar:

y ' ' = f ' ' g x ⋅ g ' x 2 + g ' ' x ⋅ f ' g x

Quando passamos para a outra notação, essa expressão fica:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

A mesma do enunciado.

Se a gente quisesse fazer desde o começo por essa notação ia ficar assim:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Derivando mais uma vez:

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x

Usando a regra do produto:

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x + d d x d u d x ⋅ d y d u

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x + d 2 u d x 2 ⋅ d y d u

Pela regra da cadeia aquela primeira derivada vai ficar:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x ⋅ d u d x + d 2 u d x 2 ⋅ d y d u

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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