Enunciado

Ordene as seguintes funções, daquela com crescimento mais lento para aquela com crescimento mais rápido quando x → ∞ .

  1. e x
  2. x x
  3. ( ln ⁡ x ) x
  4. e x / 2

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar a ordem de crescimento das funções quando x → ∞ ?

Então vamos verificar os limites, para ordenar o crescimento. Beleza?

Primeiro, vamos verificar para as funções e x e e x / 2 .

lim x → ∞ ⁡ e x e x / 2 =   lim x → ∞ ⁡ e x / 2 =   ∞

Logo, e x cresce mais rapidamente que e x / 2 quando x > e e

Passo 2

Agora, vamos verificar para as funções ( ln ⁡ x ) x e e x

lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) x e x =   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   e = ∞ x

Logo, ( ln ⁡ x ) x cresce mais rapidamente que e x quando x > ln ⁡ x   pata todo x > 0 .

Passo 3

Fazendo o mesmo para as funções x x   e ( ln ⁡ x ) x :

lim x → ∞ ⁡ x x ( ln ⁡ x ) x = = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x   x = ∞

logo, x x cresce mais rapidamente que ( ln ⁡ x ) x .

Concluímos que a ordem de crescimento é: d, a ,c ,b

Resposta

Concluímos que a ordem de crescimento é: d, a, c ,b

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