Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

30. f x = 5 - 2 x   s e   x < 3 3 x - 10   s e   3 ≤ x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x < 3 temos:

f x = 5 - 2 x

f ' x = - 2

Para x ≥ 3 temos:

f x = 3 x - 10  

f ' x = 3

Passo 3

Podemos ver que nossas derivadas deram constantes, logo f ' ( x ) nunca é igual a 0.

Como a descontinuidade de f ' x acontece em x = 3 , logo esse ponto é um ponto crítico de f .

Passo 4

Então achamos o valor de x que é ponto crítico de f , que é x = 3 . Agora vamos ver o valor de f para tal ponto, jogando o x que encontramos na nossa função.

Para x = 3 , nossa função é definida por:

f x = 3 x - 10  

f 3 = 3 ⋅ 3 - 10  

= - 1

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = - 2   s e   x < 3 3   s e   x ≥ 3

Vemos que para:

x < 3 → f ' x < 0

x > 3 → f ' x > 0

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f 3 = - 1 é extremo relativo.
  2. Em x = 3 ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em [ 3 , + ∞ ) .
  4. f ( x ) é decrescente em ( - ∞ , 3 ] .
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