Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

37.   f x = x 5 4 + 10 x 1 4

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = x 5 4 + 10 x 1 4

f ' x = 5 4 x 5 4 - 1 + 10 ⋅ 1 4 x 1 4 - 1

= 5 4 x 1 4 + 5 2 x - 3 4

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

5 4 x 1 4 + 5 2 x - 3 4 = 0

⇒ 1 4 x 1 4 + 1 2 x - 3 4 = 0

⇒ x 1 4 + 2 x - 3 4 = 0

Podemos multiplica os dois lados por x - 1 4 sem se preocupar se x é igual a zero, já que o segundo termo da direita restringe o fato de x = 0 .

⇒ 1 + 2 x - 1 = 0

⇒ 2 x = - 1

⇒ - x = 2 ⇒ x = - 2

Parece tudo lindo, mas chegamos a um valor que não é definido pela derivada, pois se fossemos avaliar a derivada nesse ponto, encontraríamos raiz quadrada de número negativo, e no caso do nosso exercício, não estamos mexendo com números complexos, logo a derivada não zera para valores reais.

Com isso nossa função não atende as condições do teorema 4.4.4, logo ela não tem extremos relativos.

Passo 4

Avaliando a derivada:

f ' x = 5 4 x 1 4 + 5 2 x - 3 4

Vemos que ela é sempre positiva, já que:

x 1 4 > 0           e           x - 3 4 > 0

Logo nossa função é sempre crescente.

Passo 5

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. Não possui extremos relativos.
  2. Não possui nenhum valor de x que ocorra extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em [ 0 , + ∞ )
  4. f ( x ) não é decrescente em nenhum intervalo
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