Enunciado

Nas partes (a) e (b) do problema 9, verifique se o peso passa pela posição de equilíbrio. Em cada caso, calcule o instante no qual o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual a posição do peso nesse instante?

Passo 1

Cara, vamos lá

Nas letras a e b da questão 9, encontramos, respectivamente

x t = 4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t

E

x t = - 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t

Agora é o seguinte: para cada uma dessas equações, vamos analisar se o peso passa por x = 0 e depois em qual tempo t ele passa pelo deslocamento extremo (e qual é a posição desse deslocamento extremo), bora lá

Passo 2

Vamos começar pela equação da 9a, ta bom?

Temos

x t = 4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t

Vamos igualar x a 0 para vermos se o peso passa pela posição de equilíbrio:

4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t = 0

4 3 . e - 2 t = 1 3 . e - 8 t

4 . e - 2 t = e - 8 t

e - 8 t e - 2 t = 4

e - 6 t = 4

- 6 t = ln ⁡ 4

t = - ln ⁡ 4 6

Eita cara, a única solução pra isso é um t negativo, mas não estamos trabalhando com tempo negativo aqui

Então, o peso nesse caso nunca passa pela posição de equilíbrio, fechou?

Passo 3

Agora, ainda para a equação da 9a, vamos ver o deslocamento extremo

Temos

x t = 4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t

Pra começar, vamos derivar x ( t ) :

x ' t = - 8 3 . e - 2 t + 8 3 . e - 8 t

Agora vamos igualar isso a 0 para encontrarmos os t ' s de extremo:

- 8 3 . e - 2 t + 8 3 . e - 8 t = 0

8 3 . e - 8 t = 8 3 . e - 2 t

e - 8 t = e - 2 t

- 8 t = - 2 t

6 t = 0

t = 0

Belezinha, o tempo t que o peso tem deslocamento extremo é t = 0   s

Agora vamos substituir isso em x ( t ) pra vermos a posição:

x 0 = 4 3 . e - 2.0 - 1 3 . e - 8.0

x 0 = 4 3 - 1 3 = 3 3 = 1

Finalizamos a análise da equação da 9a, agora vamos pra 9b

Passo 4

Na 9b, temos

x t = - 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t

Vamos começar vendo se o peso passa pela posição de equilíbrio, pra isso, igualamos x a 0 :

- 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t = 0

5 3 . e - 8 t = 2 3 . e - 2 t

5 . e - 8 t = 2 . e - 2 t

5 . e - 8 t e - 2 t = 2

5 . e - 6 t = 2

e - 6 t = 2 5

- 6 t = ln ⁡ 2 5

t = 0,152   s

Então, no caso da 9b, o peso passa pela posição de equilíbrio em t = 0,152   s e g u n d o s

Passo 5

Agora, ainda para a equação da 9b, vamos ver o deslocamento extremo

Temos

x t = - 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t

Para começar, vamos derivar x ( t ) :

x ' t = 4 3 . e - 2 t - 40 3 . e - 8 t

Agora vamos igualar isso a 0 para encontrarmos os extremos:

4 3 . e - 2 t - 40 3 . e - 8 t = 0

4 3 . e - 2 t = 40 3 . e - 8 t

4 . e - 2 t = 40 . e - 8 t

40 4 . e - 8 t e - 2 t = 1

10 . e - 6 t = 1

e - 6 t = 1 10

- 6 t = ln ⁡ 1 10

t = 0,383   s

Então, o deslocamento extremo acontece em t = 0,383   s e g u n d o s

Vamos substituir isso em x ( t ) para vermos qual a posição:

x 0,383 = - 2 3 . e - 2 . 0,383 + 5 3 . e - 8 . 0,383

x 0,383 = - 0,232   m

E essa é a posição no deslocamento extremo :)

Resposta

Em 9a, o peso não passa pela posição de equilíbrio, tem deslocamento extremo em t = 0 , quando a posição vale 1   m .

Em 9b, o peso passa pela posição de equilíbrio em t = 0,152   s , tem deslocamento extremo em t = 0 , 383 , quando a posição vale - 0,232   m .

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