Enunciado

Seja y = f x de classe C 1 em [ a , b ] e tal que f ' x > 0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f a ≤ y ≤ f x . Sejam P e Q de classe C 1 num aberto contendo K . Prove que

∮ γ P d x + Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Onde γ é a fronteira de K orientada no sentido anti-horário.

Sugestão:

∬ K ∂ Q ∂ x d x d y = ∫ f a f b ∫ g y b ∂ Q ∂ x x , y   d x d y

onde x = g y é a inversa de y = f x

Passo 1

Vamos tentar provar que

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

e

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Tentando generalizar o que nos foi passado,

Vamos resolver esse problema

Passo 2

Vamos primeiro mostrar nossa relação para

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

Vamos resolver o primeiro termo. Tome γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 , na qual

γ 1 t = t , f a ,     a ≤ t ≤ b

γ 2 t = b , f t ,     a ≤ t ≤ b

γ 3 t = t , f t ,     b ≤ t ≤ a

Onde o intervalo de γ 3 é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

∫ γ P d x = ∫ a b P t , f a   d t + ∫ a b P b , f t ⋅ 0 + ∫ b a P t , f t   d t

= ∫ a b P b , f a - P t , f t d t

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

- ∬ K ∂ P ∂ y d y d x = - ∫ a b ∫ f a f x ∂ P ∂ y d y d x

Que pelo teorema fundamental do calculo é

- ∫ a b P x , f x - P x , f a   d x

E agora invertendo e transformando x = t , temos

∫ a b P b , f a - P t , f t d t = ∫ γ P d x

Ou seja

∫ γ P d x = - ∬ K ∂ P ∂ y d y d x

Passo 3

Agora vamos mostrar que

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Na qual também seguiremos fazendo γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 , na qual

γ 1 t = g ( t ) , f a ,     f ( a ) ≤ t ≤ f ( b )

γ 2 t = b , t ,     f a ≤ t ≤ f b

γ 3 t = g ( t ) , t ,     f ( b ) ≤ t ≤ f a

Onde o intervalo de γ 3 é invertido dos demais devido ao sentido anti-horário.

Desta forma

∫ γ Q d y = ∫ f ( a ) f ( b ) Q g t , f a ⋅ 0 + ∫ f ( a ) f ( b ) Q b , t ⋅ d t + ∫ f ( b ) f ( a ) Q g ( t ) , t ⋅ d t

E assim ficamos com

∫ f ( a ) f ( b ) Q b , t - Q g t , t ⋅ d t

E o sinal negativo vem, pois invertemos o sentido do terceiro termo.

Agora o termo da direita

∬ K ∂ Q ∂ x d x d y = ∫ f a f b ∫ g y b ∂ Q ∂ x x , y   d x d y

Que pelo teorema fundamental do calculo é

∫ f ( a ) f ( b ) Q b , y - Q g y , y   d y

Faça assim, troque y = t .

∫ f ( a ) f ( b ) P b , t - P g ( t ) , t d t = ∫ γ Q d y

Ou seja

∫ γ Q d y = ∬ K ∂ Q ∂ x d x d y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C e y d x + 2 x e y d y C é o quadrado de lados x = 0 ,x = 1 ,y = 0 e y = 1
Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de computação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla. P x , y = 2 x - x 3 y 5 , Q x , y = x 3 y 8 C é a elipse 4 x 2 +
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x - y d x + ( x + y ) d y C é o círculo com centro na origem e raio 2
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C xd x + yd y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,1 ) a ( 0,0 ) e de ( 0,0 ) a ( 1,0 ) e na par
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2