Enunciado

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v t = t + 3   ,   t ≥ 0 . Sabe-se que, no instante t = 0 , a partícula encontra-se na posição x = 2 .

a) Qual a posição da partícula no instante t ?

b) Determine a posição da partícula no instante t = 2 .

c) Determine a aceleração.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu a função que descreve a velocidade de uma partícula, v t = t + 3 , com t ≥ 0 , e nos disse que no instante inicial t = 0 , ela se encontra na posição x = 2 .

A partir disso, nós precisamos determinar a posição da partícula em qualquer instante de tempo t , a posição dela quando t = 2   s e a sua aceleração.

Pra isso, precisamos lembrar que a velocidade é definida como a derivada da posição x em relação ao tempo t , ou seja:

v t = d x d t

E que a sua aceleração é a variação da velocidade no tempo, então é representada pela derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a t = d v d t = d 2 x d t 2

Vamos usar essas definições para encontrar os valores que procuramos. Vamos lá!

Passo 2

a) Usando a definição de velocidade, temos:

v = d x d t

Como v t = t + 3 , teremos:

d x d t = x ' t = t + 3

E como a integral é a operação inversa da derivada, para encontrar a função da posição, basta integrar essa expressão:

x t = ∫ t + 3 d t

= t 2 2 + 3 t + C

Para descobrir o valor da constante C , vamos utilizar a informação de que x = 2 quando t = 0 . Assim, substituindo x 0 = 2 na expressão, temos:

0 2 2 + 3 0 + C = 2

C = 2

Logo, a posição da partícula no instante t será:

x t = t 2 2 + 3 t + 2

Passo 3

b) Agora para determinar a posição da partícula no instante t = 2 , basta substituir t = 2 na função que acabamos de obter no passo 2 :

x 2 = 2 2 2 + 3 2 + 2

x 2 = 10

Passo 4

c) Por fim, vamos determinar a aceleração, lembrando que a aceleração a é a derivada da velocidade v em relação ao tempo, ou seja:

a = d v d t

E derivando v t = t + 3 , temos:

a t = t + 3 '

a t = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) x = t 2 2 + 3 t + 2

b) x 2 = 10

c) a t = 1

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j) ∫ 1 e 3 x d x
n) ∫ s e nx 2 d x
g) ∫ (x 2 +s e nx )d x
f) ∫ ( e 2 x + e - 2 x )d x
5- Seja y=f( x ) ,xϵR , derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x .f ´ ´ ( x )+f ( x )=0 Seja g dada por g ( x )=f ´ ( x )s e nx–f ( x )c o sx . Prove que g é constante.