Enunciado

5- Seja   y   =   f   ( x ) ,   x   ϵ   R , derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x .

  f ´ ´ ( x )   +   f ( x )   =   0

Seja   g dada por g ( x )   =   f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x . Prove que g é constante.

Passo 1

Fala galera, mais uma questão de demonstração. Queremos mostrar que

  g dada por g ( x )   =   f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x . é constante.

Sabendo que

  f ´ ´ ( x )   +   f ( x )   =   0

Vamos nessa!!

Passo 2

Essas questões de provar parecem ser chatinhas né ?! Mas você vai ver que essa é muito tranquila ☺

A primeira coisa que temos que fazer é derivar a função   g ( x ) :

g ´ ( x )   =   f ´ ´ ( x )   s e n x   +   f ´ ( x )   c o s   x   -   f ´ ( x )   c o s   x   +   f ( x )   s e n   x

Passo 3

Agora, vamos colocar os termos em evidência para as coisas ficarem mais claras :

g ´ ( x )   =   s e n   x   (   f ´ ´ ( x )   +   f ( x )   )  

Você percebeu o mesmo que eu ????

A gente pode trocar o que está entre parênteses por zero, que é a condição inicial :

g ´ ( x )   =   s e n   x   (   0   )  

=   0

Passo 4

Agora , a gente corre pro abraço e vai ser feliz porque o valor de g ´ ( x ) deu zero !!!! Isso quer dizer que existe uma constante k tal que f ´ ( x )   s e n   x   –   f ( x )   c o s   x   =   K , para todo x .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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