Enunciado

Uma partícula move-se com aceleração a t   m / s 2 ao longo de um eixo s

e tem velocidade v 0   m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

a t = 1 3 t + 1 ,     v 0 = 4 3 ,     1 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

Só que nesse caso a gente não tem a função v ( t ) 😫! E agora? Que que a gente faz?

Sorte a nossa que a gente sabe que:

v t = ∫ a t   d t

Então tá show! A gente descobre a função v ( t ) e depois joga naquelas outras lá.

v t = ∫ 1 3 t + 1 d t

Vou fazer u = 3 t + 1 e d u = 3   d t → d u 3 = d t . Aí a gente tem:

1 3 ∫ 1 u = 1 3 2 u = 2 u 3

Voltando para t …

2 3 t + 1 3 + C

Pra achar esse C a gente tem que v 0 = 4 3 , então:

v 0 = 2 3 3 0 + 1 + C = 4 3

2 3 + C = 4 3

C = 2 3

Problema resolvido: nossa função v t = 2 3 t + 1 3 + 4 3 .

Passo 3

Agora a gente descobre o deslocamento aqui:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 1 5 2 3 t + 1 3 + 4 3   d t

= 4 27 3 t + 1 3 2 + 4 3 t 1 5

= 4 27 64 + 20 3 - 4 27 8 - 4 3

= 256 27 + 20 3 - 32 27 - 4 3

= 368 27

Esse é o deslocamento!

Passo 4

E agora a distância:

d i s t â n c i a = ∫ 1 5 2 3 t + 1 3 + 4 3   d t

Vamos ver o sinal da função:

2 3 t + 1 3 + 4 3 ≥ 0

2 3 t + 1 3 ≥ - 4 3

3 t + 1 ≥ - 2

Isso sempre acontece, porque o resultado de uma raiz é sempre positivo. Então, nossa integral fica na mesma:

∫ 1 5 2 3 t + 1 3 + 4 3   d t

A gente já calculou e viu que isso dá   368 27 . Então a distância também foi de 368 27 m

😊

Resposta

Deslocamento= 368 27 m

Distância = 368 27 m

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