Enunciado

Uma partícula move-se com uma velocidade de v t   m / s ao longo de um eixo s . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

  1. v t = 3 t - 2 ,   0 ≤ t ≤ 2
  2. v t = 1 - 2 t ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

  1. Deslocamento:
  2. ∫ 0 2 3 t - 2   d t = 3 t 2 2 - 2 t 0 2 = 6 - 4 = 2

    O deslocamento então foi de 2 m .

    E a distância?

    d i s t â n c i a = ∫ 0 2 | 3 t - 2 |   d t    

    Vamos dividir agora o intervalo onde a função é positiva e onde é negativa.

    3 t - 2 > 0

    3 t > 2

    t > 2 3

    Então...

    Passo 3

    A nossa integral vai ficar:

    ∫ 0 2 3 2 - 3 t   d t + ∫ 2 3 2 3 t - 2   d t

    = 2 t - 3 t 2 2 0 2 / 3 + 3 t 2 2 - 2 t 2 2 / 3

    = 4 3 - 3 2 4 9 + [ 6 - 4 - 3 2 4 9 - 2 2 3

    = 4 3 - 2 3 + 2 - 2 3 - 4 3

    = 2 3

    Passo 4

  3. Bora fazer a mesma coisa:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 0 2 1 - 2 t   d t

Vamos ver de novo o intervalo de onde é positivo e onde é negativo:

1 - 2 t > 0

- 2 t > - 1

2 t < 1

t < 1 2

Aí a integral fica assim:

∫ 0 1 / 2 1 - 2 t   d t + ∫ 1 2 2 2 t - 1   d t

t - t 2 0 1 / 2 + t 2 - t 1 / 2 2

= 1 2 - 1 4 + 4 - 2 - 1 4 + 1 2

= 3 - 1 2

= 5 2

O deslocamento então foi 5 2 m (deslocamento pode ser negativo).

Passo 3

Vamos pra distância agora:

d i s t â n c i a = ∫ 0 2 | 1 - 2 t |   d t

É a mesma integral que a gente calculou ali em cima, então a distância é 5 2 m também😉

Resposta

  1. Deslocamento: 2 m e distância: 2 3 m
  2. Deslocamento: 5 2   m e distância: 5 2 m
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