Enunciado

Uma partícula move-se ao longo do eixo x com função velocidade v ( t )   =   t 2   e - t . Qual é a distância percorrida por ela do instante t   =   0 até o instante t   =   5 ?

Passo 1

Cara, para fazer essa, precisamos lembrar que:

v t = d s d t

E aí podemos dizer:

s = ∫ t 0 t f v ( t ) d t

Então, para achar a distância percorrida para os dados do enunciado, precisamos calcular essa integral:

s = ∫ 0 5 t 2 e - t d t

Vamos lá!

Passo 2

Como temos o produto entre duas funções, podemos usar a integração por partes.

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Podemos usar a regrinha do LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial) para escolher u .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica ( t 2 ) e uma exponencial ( e - t ). Então pela regrinha:

u = t 2 , d u d t = 2 t ∴ d u = 2 t   d t

d v = e - t d t

Passo 3

Para achar v precisamos integrar d v . Podemos tentar uma substituição simples:

v = ∫ e - t d t

w = - t , d w d t = - 1 ∴ d w - 1 = d t

Substituindo na nossa integral e calculando:

v = - 1 ∫ e w d w = - e w = - e - t

Passo 4

Agora a gente pode usar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo o que a gente tem:

∫ 0 5 t 2 e - t d t = t 2 ⋅ - e - t   ​ 0 5 - ∫ 0 5 - e - t ⋅ 2 t d t = - t 2 e - t   ​ 0 5 + 2 ∫ 0 5 t e - t d t

Apareceu outra integral que é o produto de duas funções. Vamos precisar integrar por partes de novo.

Passo 5

Essa é a integral que temos que calcular:

∫ 0 5 t   e - t d t

Podemos usar a regrinha do LIATE de novo para escolher u .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica ( t ) e uma exponencial ( e - t ). Então pela regrinha:

u = t , d u d t = 1 ∴ d u = d t

d v = e - t d t

Já vimos que:

v = ∫ e - t d t = - e - t

Passo 6

Usando a fórmulinha, substituindo o que a gente tem e calculando a integral que aparecer:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 5 t e - t d t = - t e - t ​ 0 5 - ∫ 0 5 - e - t d t = - t e - t - e - t   ​ 0 5

Agora é só substituir isso nas nossas continhas:

∫ 0 5 t 2 e - t d t = - t 2 e - t   ​ 0 5 + 2 ∫ 0 5 t e - t d t

∫ 0 5 t 2 e - t d t = - t 2 e - t   ​ 0 5 + 2 - t e - t - e - t ​ 0 5

∫ 0 5 t 2 e - t d t = - 25 e - 5 - 10 e - 5 - 2 e - 5 + 2 = - 37   e - 5 + 2

Resposta

s = - 37   e - 5 + 2

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