Enunciado

39-42 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

42- A integração por partes tabulada é útil para integrandos da forma ∫ p x f x d x , em que p ( x ) é um polinômio e f ( x ) pode ser integrada repetidamente.

Passo 1

Gente, integrais no formato apresentado na questão, às vezes, podem ser calculadas usando integração por partes repetida, em que u é tomado, em cada etapa, como sendo p ( x ) ou uma de suas derivadas. Como d u é calculada derivando u , a derivação repetida de p ( x ) vai acabar resultando em 0. Além disso, f ( x ) deve ser uma função que possa ser integrada repetidamente.

Você pode estar se perguntando, mas como eu faço isso ???

Quirido, os resultados das derivadas e das integrações devem ser listados em duas colunas. Depois disso, você deve traçar setas, com sinais alternados + e – (começando com o +), desde cada entrada da primeira coluna para a entrada uma linha abaixo na segunda coluna. Por fim, para cada seta, forme produto das expressões nos extremos inicial e final de cada seta e, multiplique por +1 ou -1, de acordo com o sinal da seta. Sacou ???

Olha só um exemplo:

∫ ( x 2 - x )   c o s x   d x

Assim,

∫ x 2 - x c o s x   d x = x 2 - x s e n   x + 2 x - 1 cos ⁡ x - 2   s e n   x + C

= x 2 - x - 2   s e n   x + 2 x - 1 cos ⁡ x + C

Diante de tudo isso, sabemos que a afirmação é verdadeira .

Resposta

Verdadeira.

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Sejam men dois naturais diferentes de zero. Verifique que: ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 + x m - 1 d x
Calcule: ∫ 1 2 ln ⁡ x d x
Calcule: ∫ 0 1 x e x d x
Verifique que, para todo natural n ≥ 2 , ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sin n - 2 ⁡ x d x
Calcule: ∫ 0 x t 2 e - s t d t