Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (26) a = 3 t - t 2 ; v = 7 6   e   s = 1   q u a n d o   t = 1 . Expresse v e s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a aceleração como uma função do tempo e pede para que achemos a distância e velocidade em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d t = 3 t - t ² d v = ( 3 t - t ² ) d t ∫ d v = ∫ ( 3 t - t ² ) d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d v = ∫ ( 3 t - t ² ) d t

v = 3 t 2 2 - t 3 3 + K 1

Passo 3

Vamos agora encontrar a quação da distância em função de t:

v = d s d t = 3 t 2 2 - t 3 3 + K 1 d s = 3 t 2 2 - t 3 3 + K 1 d t ∫ d s = ∫ 3 t 2 2 - t 3 3 + K 1 d t s = 3 t 3 2 * 3 - t 4 3 * 4 + K 1 t + K 2

Portanto,

s = 3 t 3 6 - t 4 12 + K 1 t + K 2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais temos:

v = 7 6 q u a n d o   t = 1 7 6 = 3 1 2 2 - 1 3 3 + K 1 7 6 = 3 2 - 1 3 + K 1 K 1 = 0 s = 1   q u a n d o   t = 1 1 = 3 1 3 6 - 1 4 12 + K 2 1 = 3 6 - 1 12 + K 2 K 2 = 7 12

Portanto,

s = 3 t 3 6 - t 4 12 + 7 12

v = 3 t 2 2 - t 3 3

Resposta

As expressões de v e s em função de t são:

v = 3 t 2 2 - t 3 3

s = 3 t 3 6 - t 4 12 + 7 12

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