Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (25) a = t 2 + 2 t ; s = 1   q u a n d o   t = 0   e   s = - 3   q u a n d o   t = 2 . Expresse v e s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a aceleração como uma função do tempo e pede para que achemos a distância e velocidade em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d t = t 2 + 2 t d v = ( t 2 + 2 t ) d t ∫ d v = ∫ ( t 2 + 2 t ) d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d v = ∫ ( t 2 + 2 t ) d t

v = t 3 3 + 2 t 2 2 + K 1

Passo 3

Vamos agora encontrar a equação da distância em função de t:

v = d s d t = t 3 3 + t 2 + K 1 d s = t 3 3 + t 2 + K 1 d t ∫ d s = ∫ t 3 3 + t 2 + K 1 d t s = t 4 3 * 4 + t 3 3 + K 1 t + K 2

Portanto,

s = t 4 12 + t 3 3 + K 1 t + K 2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais temos:

s = 1   q u a n d o   t = 0 1 = 0 12 + 0 3 + K 1 * 0 + K 2 K 2 = 1 s = - 3   q u a n d o   t = 2 - 3 = 2 4 12 + 2 3 3 + 2 K 1 + 1 - 3 = 16 12 + 8 3 + 1 + 2 K 1 - 4 = 4 3 + 8 3 + 2 K 1 2 K 1 = - 4 - 12 3 K 1 = - 4

Portanto,

s = t 4 12 + t 3 3 - 4 t + 1

Resposta

As expressões de v e s em função de t são:

v = t 3 3 + 2 t 2 2 - 4

s = t 4 12 + t 3 3 - 4 t + 1

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