Enunciado

A matrícula em certa universidade vem crescendo a uma taxa de 1000 1 + t - 1 / 2 estudantes por ano desde 1985. Se a matrícula em 1988 foi de 10000:

a)qual foi a matrícula em 1985

Passo 1

Se f ( t ) é a função que dá a quantidade de matrícula em função do número t de anos passados desde 1985, a taxa de crescimento é dada por f ' t = 1000 1 + t - 1 / 2 . Sabemos que se integrarmos f ' ( t ) chegaremos a uma família de equações que contem a função f ( t ) . Então devemos primeiro integrar f ' ( t ) .

Passo 2

Vamos então integrar f ' ( t ) :

∫ f ' t d t = ∫ 1000 1 + t - 1 / 2 d t = 1000 ⋅ 1 + t 1 2 1 2 + C = 2000 1 + t 1 / 2 + C

Então temos f t = 2000 1 + t 1 / 2 + C , e falta apenas encontrar o valor de t .

Passo 3

No ano 1988, temos t = 1988 - 1985 = 3 , então podemos afirmar que f 3 = 10000 , pelos dados do problema. Temos então:

2000 1 + 3 1 / 2 + C = 10000 ⇒ 2000 ⋅ 4 + C = 0 ⇒ C = 10000

⇒ 4000 + C = 100000 ⇒ C = 6000

E a nossa função fica então:

f t = 2000 1 + t 1 / 2 + 6000 = 2000 ( 1 + t + 3 )

Resposta

f t = 2000 ( t + 1 + 3 )

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