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Uma partícula move-se ao longo de uma reta, e s = c o s 2 t + c o s t , prove que o movimento não é harmônico simples.

Passo 1

Para que o movimento seja harmônico simples, a aceleração do corpo deve ser proporcional ao deslocamento s, e precisa assumir valor menor ou igual a zero, pois a força envolvida deve sempre ser contrária ao movimento da partícula. Então como é pedido para mostrar que não é harmônico simples, basta que uma dessas condições não sejam satisfeitas.

Passo 2

Como precisamos primeiro da aceleração, faremos a primeira derivada da função dada no enunciado:

d s d t = d d t c o s 2 t + c o s t

Aplicando a Regra da Cadeia no primeiro termo da derivada:

d d t c o s 2 t = - s e n 2 t d d t 2 t

d d t c o s 2 t = - 2 s e n 2 t

O segundo termo obtemos diretamente:

d d t c o s t = - s e n t

Substituindo os resultados ficamos com:

v = d s d t = - 2 s e n 2 t - s e n t

E essa será a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora calcularemos a aceleração:

d v d t = d d t - 2 s e n 2 t - s e n t

Aplicando a Regra da Cadeia novamente no primeiro termo:

d d t - 2 s e n 2 t = - 2 c o s 2 t d d t 2 t

d d t - 2 s e n 2 t = - 4 c o s 2 t

E calculando o segundo termo diretamente:

d d t - s e n t = - c o s t

Substituindo os resultados no início:

a = d v d t = - 4 c o s 2 t - c o s t

Como não podemos reescrever a função aceleração em termos somente de s, mesmo que a gente consiga colocar s, ela também irá depender de t, então o movimento não é harmônico simples.

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